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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Sei [mm] A\in M(n×n,\IR) [/mm] symmetrisch.
(a) Beweisen Sie die Existenz eines [mm] S\in GL(n,\IR), [/mm] so dass [mm] S^T*A*S [/mm] Diagonalgestalt hat.
(b) Bestimmen Sie zu
A [mm] =\pmat{1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 3}
[/mm]
eine Matrix S mit den in (a) genannten Eigenschaften. |
Wie soll ich Aufgabenteil (a) beweisen? Für symmetrische Matrizen gilt [mm] a_{ij}=a_{ji} (A=A^T) [/mm] aber wie weiter?
(b)
Char Pol: [mm] \lambda^3-6\lambda^2+3\lambda [/mm] +10
[mm] \Rightarrow: [/mm] EW [mm] \lambda_1=-1 ,\lambda_2=2, \lambda_3=5
[/mm]
[mm] \Rightarrow: [/mm] EV: [mm] e_1=\pmat{2 \\ 2 \\ 1}, e_2=\pmat{-2 \\ 1 \\ -2}, e_3=\pmat{1 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
Also [mm] S=\pmat{2 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 2}
[/mm]
Aber wie gesagt wie den Beweis in (a) führen?
Gruß Zerwas
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> Sei [mm]A\in M(n×n,\IR)[/mm] symmetrisch.
> (a) Beweisen Sie die Existenz eines [mm]S\in GL(n,\IR),[/mm] so
> dass [mm]S^T*A*S[/mm] Diagonalgestalt hat.
> Aber wie gesagt wie den Beweis in (a) führen?
>
Hallo,
es kommt sehr darauf an, was bereits dran war...
Falls die orthogonale Normalform normaler reeller Matrizen bereits besprochen wurde, kannst Du es so zeigen:
Aus der Symmetrie folgt die Normalität und hieraus, daß man die Matrix auf o.g. NF transformieren kann.
Aus der Symmetrie folgt weiter, daß die Eigenwerte alle reell sind, woraus folgt, daß die NF Diagonalgestalt hat.
Gruß v. Angela
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