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Forum "Uni-Lineare Algebra" - symmetrische Gruppe
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symmetrische Gruppe: Verständnis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:22 Mo 28.03.2005
Autor: Reaper

Hallo

Wir haben da im Skript so ein Beispiel stehen was mir nicht ganz einleuchtet:

Die symmetrische Gruppe auf M ist eine abelsche Gruppe,aber nur falls M mehr als 2 Elemente hat.

[mm] S_{M} [/mm]

Ich hab ja schon mal gefragt was eine symmetrische Gruppe überhaupt ist:
[mm] \summe_{n} [/mm] := { [mm] \mu: [/mm] {1,...,n} -> {1,..,n}| [mm] \mu [/mm] ist bijektiv}

Um was es also bei der ganzen Sache geht ist die Kommutativität, die bei mehr als 2 Elementen anscheinend nicht mehr gegeben ist, wieso?


        
Bezug
symmetrische Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Mo 28.03.2005
Autor: moudi

Hallo Reaper

Die Gruppenmultiplikation ist in diesem Fall die Verknüpfung von Abbildungen.

Ein Beispiel:
Sei [mm] $f:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}$ [/mm] mit f(1)=1, f(2)=3, f(3)=2.
Sei [mm] $g:\{1,2,3\} \to \{1,2,3\}$ [/mm] mit g(1)=2, g(2)=3, g(3)=1.

Dann gelten für die Abbildungen
[mm] $f\circ [/mm] g$ (zuerst g, dann f) [mm] $f\circ g\,(1)=3$, $f\circ g\,(2)=2$, $f\circ g\,(3)=1$. [/mm]
[mm] $g\circ [/mm] f$ (zuerst f, dann g) [mm] $g\circ f\,(1)=2$, $g\circ f\,(2)=1$, $g\circ f\,(3)=3$. [/mm]

Du siehst, dass [mm] $f\circ [/mm] g$ und [mm] $g\circ [/mm] f$ verschiedene Abbildungen sind.

Im allgemeinen sind Abbildung fast nie kommutativ.

mfG Moudi

Bezug
                
Bezug
symmetrische Gruppe: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:35 Mo 28.03.2005
Autor: Reaper

Danke für die verständliche Antwort

Bezug
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