symmetrische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:24 Mi 08.10.2008 | | Autor: | statler |
| Aufgabe | Beweise oder widerlege:
Es gibt keine Einbettung [mm] S_{n} \to A_{n+1} [/mm] |
Hier gibt es schon mal so erste Gedanken.
Tippen würde ich auf die Richtigkeit, also einen Beweis.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Mo 13.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo,
eine kurze bemerkung unter anderem auch, um die frage mal wieder aus der versenkung zu holen. ich habe nun in der zwischenzeit die aussage von GAP für kleines $n$ nachrechnen lassen und dies hat bestätigt, dass es zumindest bis $n = 46$ keine solche einbettung gibt (das zerstört insbesondere die hoffnung auf ein gegenbeispiel in der umgebung von $n = 6$, die man unter umständen ![[]](/images/popup.gif) deshalb hätte haben können).
allerdings liefen meine naiven beweisbemühungen (zählen der elemente einer bestimmten ordnung usw.) bisher auch ins leere.
würde mich freuen, wenn noch jemand andere ansätze zu der frage hat.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:05 Di 14.10.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> eine kurze bemerkung unter anderem auch, um die frage mal
> wieder aus der versenkung zu holen. ich habe nun in der
> zwischenzeit die aussage von GAP für kleines [mm]n[/mm] nachrechnen
> lassen und dies hat bestätigt, dass es zumindest bis [mm]n = 46[/mm]
> keine solche einbettung gibt (das zerstört insbesondere die
> hoffnung auf ein gegenbeispiel in der umgebung von [mm]n = 6[/mm],
> die man unter umständen
> deshalb
> hätte haben können).
Das ist gut zu wissen. Ich hatte auch schonmal ueberlegt den Computer fuer kleine $n$ zu bemuehen, bin allerdings bisher nicht dazu gekommen.
> allerdings liefen meine naiven beweisbemühungen (zählen
> der elemente einer bestimmten ordnung usw.) bisher auch ins
> leere.
> würde mich freuen, wenn noch jemand andere ansätze zu der
> frage hat.
Leider nicht. Das einzige was ich bisher hab ist dass $n$ ungerade sein muss falls es eine Einbettung gibt, und dass es fuer $n = 1$ tatsaechlich eine gibt (da [mm] $S_1$ [/mm] nur aus dem neutralen Element besteht).
Wenn ich mal wieder etwas mehr Zeit hab werd ich weiter drueber nachdenken...
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Di 14.10.2008 | | Autor: | PeterB |
Das ist doch mal eine nette Aufgabe!
Ich kann beweisen, dass es für [mm] $n\neq1$ [/mm] keine solche Abbildung gibt allerdings mit dem kleinen Haken, dass ich die Goldbachvermutung benutze. Wahrscheinlich gibt es Verfeinerungen die das umgehen, aber die werden dann viel komplizierter. (z.B. Kann man vielleicht Goldbach durch den (bewiesenen) Satz ersetzen, dass jede gerade Zahl >=8 die Summe von 4 Primzahlen ist.)
Die Beweisidee ist sehr einfach: Falls [mm] $n=2^k+p_1+...+p_l$ [/mm] mit [mm] $k\geq [/mm] 1$ und [mm] $p_1, [/mm] ..., [mm] p_l$ [/mm] distinkte Primzahlen dann gibt es in [mm] $S_n$ [/mm] ein Element der Ordnung [mm] $kgV(2^k,p_1,...,p_k)=2^k\prod p_i$ [/mm] nämlich ein Element das durch $l+1$ disjunkte Zykeln der Längen [mm] $2^k,p_1,...,p_l$ [/mm] gegeben ist. In [mm] $A_{n+1}$ [/mm] kann es ein Element dieser Länge aber nicht geben, da dieses in der disjunkten Zykel Darstellung für jedes [mm] $p_i$ [/mm] einen Zykel haben muss dessen Länge durch [mm] $p_i$ [/mm] teilbar ist, und (als Element der alternierenden Gruppe) eine gerade Anzahl von Zykeln gerader Länge. Dafür reichen aber die zur Verfügung stehenden Elemente nicht aus.
Bleibt zu zeigen: [mm] $n=2^k+p_1+...+p_l$. [/mm] Ich zeige das jetzt unter Annahme der Goldbach Vermutung für ungerade [mm] $n\geq [/mm] 17$. Falls [mm] $n\neq [/mm] 3$ rechnet man die anderen Fälle schnell per Hand nach. Insbesondere ist die Behauptung richtig für $n$ in Bereichen, wo die Goldbachvermutung richtig ist. (Also ist die Suche nach Gegenbeispielen ziemlich sinnlos)
Offenbar kann ich $n$ immer schreiben als $n=2+3+2s$ mit [mm] $s\geq [/mm] 6$. Nach goldbach ist [mm] $2s=p_1+p_2$ [/mm] mit ungeraden Primzahlen [mm] $p_1\leq p_2$. [/mm] Also ist [mm] $n=2+3+p_1+p_2$. [/mm] Falls alle auftretenden Primzahlen verschieden sind, sind wir fertig. Die restlichen Fälle sind:
[mm] 1)$p_1=3$
[/mm]
In diesem Fall ist [mm] $n=2^3+p_2$.
[/mm]
[mm] 2)$p_1=p_2$
[/mm]
In diesem Fall ist (wieder mit Goldbach) [mm] $n=2^2+3+q_1+q_2$ [/mm] (wieder [mm] $q_1\leq q_2$). [/mm] Jetzt kann der Fall [mm] $q_1=q_2$ [/mm] aber nicht auftreten, da sonst [mm] $q_i=p_j-1=s-1$ [/mm] wäre, was sicher keine Primzahl ist.
2a) Wenn jetzt [mm] $q_1$ [/mm] nicht 3 ist sind wir fertig.
2b) [mm] $q_1=3$
[/mm]
In diesem Fall ist [mm] $n=10+q_2=2+3+5+q_2$ [/mm] und auf Grund unserer Annahme ist [mm] $q_2>5$. [/mm] Damit haben wir auch eine solche Darstellung erreicht.
Das ist jetzt alles etwas komplex und hängt an Golbach. Ich wäre für Verbesserungen bzw. andere Ansätze dankbar.
Gruß
Peter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Do 16.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo Peter,
auf die idee, potenzen von $2$ abzuspalten bin ich auch gekommen, allerdings kam ich dann nicht soweit, dass ich den rest in verschiedene primzahlen zerlegen konnte.
auf jeden fall ein sehr schöner beweis, mal sehen, ob man ihn noch auf ein stabiles fundament stellen kann.
danke und grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Do 16.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Fr 17.10.2008 | | Autor: | statler |
Hallo an alle Teilnehmer dieser Diskussion und andere Interessenten!
Einerseits finde ich den 'Beweis' schön, vielen Dank dafür Peter, andererseits stört mich (noch) die Lücke. Ich bin überrascht, daß nicht ein Literaturzitat gekommen ist ("Das steht in dem und dem Buch.") und das es keiner mit der Darstellungstheorie versucht hat.
Mein Ursprungstraum war so ein geometrischer Beweis im Stile Coxeters. Schließlich geht es um Symmetrie-(unter-)gruppen von Polyedern.
Ist das denn wirklich eine offene Frage? Hat jemand einen Gruppen-Guru im Zugriff, den er mal interviewen kann?
Allen ein schönes WE
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Mo 20.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo Dieter und alle anderen,
um doch noch ein literaturzitat zu bringen, welches diese aufgabe löst: nach Bertram Huppert, endliche gruppen I, satz II.5.5 a) gilt:
sei $ n [mm] \not= [/mm] 6 $. dann hat $ [mm] S_n [/mm] $ genau eine konjugiertenklasse von untergruppen vom index $ n $, nämlich die stabilisatoren der ziffern [...]
gäbe es nun eine einbettung [mm] $S_{n-1} \rightarrowtail A_n$, [/mm] so würde die natürliche inklusion eine einbettung [mm] $S_{n-1} \rightarrowtail A_{n} \hookrightarrow S_n$ [/mm] liefern. diese darf aber nicht über [mm] $A_n$ [/mm] faktorisieren, da die punktstabilisatoren nicht vollständig in [mm] $A_n$ [/mm] enthalten sind.
für $n = 6$ gibt es neben den punktstabilisatoren noch eine weitere konjugiertenklasse, nämlich $2$-fach transitive untergruppen, welche ebenfalls isomorph zu einer [mm] $S_5$ [/mm] sind (Bertram Huppert, endliche gruppen I, satz II.5.5 b)). nun muss man noch zeigen, dass diese ebenfalls nicht in der [mm] $A_6$ [/mm] enthalten sind (aber das sieht man zum beispiel, wenn man sich die elemente hinschreibt).
grüße
andreas
|
|
|
|
