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Forum "Mengenlehre" - symmetrische Differenz Beweis
symmetrische Differenz Beweis < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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symmetrische Differenz Beweis: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 So 06.11.2011
Autor: oktollber

####
####    Lösung durch Aussagenlogik geschafft. ;)
####    (p not [mm] \gdw [/mm] q) not [mm] \gdw [/mm] r = p not [mm] \gdw [/mm] (q not [mm] \gdw [/mm] r)
####
####
####
####


Hallo liebe Community,

Aufgabegabe: A [mm] \Delta [/mm] B := [mm] (A\setminus B)\cup(B\setminus [/mm] A)

(i) [mm] (A\Delta B)\Delta [/mm] C = [mm] A\Delta(B\Delta [/mm] C)

So, zu (i) habe ich zwar einen Beweis gefunden, den ich auch verstehe.
[]Beweisarchiv Mengenlehre Aber die gehen davon aus, dass
[mm] (A\setminus B)\cup(B\setminus [/mm] A) = [mm] (A\cup B)\setminus(B\cap [/mm] A)
Das müsste ich ja auch beweisen, dazu habe ich folgendes.
[ x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B ] [mm] \vee [/mm] [ x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A ]
=> [ x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B ] [mm] \wedge [/mm] [ x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A ] [mm] \wedge [/mm] [ x [mm] \not\in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B ] [mm] \wedge [/mm] [ [mm] x\not\in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A ]
=> x [mm] \in [/mm] ( A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] ... hier fehlt mir der Trick...

Bin für jede Hilfe dankbar.

mfg
oktollber

        
Bezug
symmetrische Differenz Beweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:09 Mo 07.11.2011
Autor: fred97


> ####
>  ####    Lösung durch Aussagenlogik geschafft. ;)
>  ####    (p not [mm]\gdw[/mm] q) not [mm]\gdw[/mm] r = p not [mm]\gdw[/mm] (q not [mm]\gdw[/mm]
> r)
>  ####
>  ####
>  ####
>  ####
>  
>
> Hallo liebe Community,
>  
> Aufgabegabe: A [mm]\Delta[/mm] B := [mm](A\setminus B)\cup(B\setminus[/mm]
> A)
>  
> (i) [mm](A\Delta B)\Delta[/mm] C = [mm]A\Delta(B\Delta[/mm] C)
>  
> So, zu (i) habe ich zwar einen Beweis gefunden, den ich
> auch verstehe.
>  
> []Beweisarchiv Mengenlehre
> Aber die gehen davon aus, dass
>  [mm](A\setminus B)\cup(B\setminus[/mm] A) = [mm](A\cup B)\setminus(B\cap[/mm]
> A)
>  Das müsste ich ja auch beweisen, dazu habe ich
> folgendes.
>  [ x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B ] [mm]\vee[/mm] [ x [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] x
> [mm]\not\in[/mm] A ]
>  => [ x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B ] [mm]\wedge[/mm] [ x [mm]\in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x

> [mm]\not\in[/mm] A ] [mm]\wedge[/mm] [ x [mm]\not\in[/mm] B [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B ] [mm]\wedge[/mm] [
> [mm]x\not\in[/mm] B [mm]\vee[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A ]
>  => x [mm]\in[/mm] ( A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] ... hier fehlt mir der

> Trick...

Da verliert man doch den Überblick ....

Wir setzen X:=  [mm](A\setminus B)\cup(B\setminus[/mm] A)  und Y:= [mm](A\cup B)\setminus(B\cap[/mm] A)

Wir zeigen zuerst: X [mm] \subseteq [/mm] Y:

Sei x [mm] \in [/mm] X.

Fall 1: x [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus [/mm] B. Dann ist x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B und x [mm] \notin [/mm] B [mm] \cap [/mm] A, also x [mm] \in [/mm] Y.

Fall 2: x [mm] \in [/mm] B [mm] \setminus [/mm] A . Dann ist x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B und x [mm] \notin [/mm] B [mm] \cap [/mm] A, also x [mm] \in [/mm] Y.


Jetzt zeigen wir: Y [mm] \subseteq [/mm] X.

Sei x [mm] \in [/mm] Y. Dann ist x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B und x [mm] \notin [/mm] B [mm] \cap [/mm] A

Fall 1: x [mm] \notin [/mm] B . Dann ist x [mm] \in [/mm] A  \ B, und damit x [mm] \in [/mm] X

Fall2: x [mm] \notin [/mm] A . Dann ist x [mm] \in [/mm] B  \ A, und damit x [mm] \in [/mm] X

FRED




>  
> Bin für jede Hilfe dankbar.
>  
> mfg
>  oktollber


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