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| Aufgabe | | (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \backslash [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = (A [mm] \backslash [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (B [mm] \backslash [/mm] A) |
Ich bin gerade erst ins Studium gestartet und komme mit Mathe-Beweisen noch nicht wirklich klar. Könnte mir vielleicht jemand anhand dieses Beispiels erklären, wie man vorgehen sollte? Ich glaub, wenn man einige Beispiele gesehen hat, kapiert man es dann auch irgendwann hoffentlich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\backslash[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) = (A [mm]\backslash[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (B
> [mm]\backslash[/mm] A)
> Ich bin gerade erst ins Studium gestartet und komme mit
> Mathe-Beweisen noch nicht wirklich klar. Könnte mir
> vielleicht jemand anhand dieses Beispiels erklären, wie man
> vorgehen sollte? Ich glaub, wenn man einige Beispiele
> gesehen hat, kapiert man es dann auch irgendwann
> hoffentlich.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Fix und fertig vorrechnen möchte ich Dir das nicht.
Ich gebe Dir ein paar Erklärungen dazu, wie man so etwas anpacken kann und üblicherweise anpackt.
Du solltest dann allein weiterversuchen.
Zunächst einmal muß man wissen, daß die Gleichheit von Mengen R=S immer zweierlei beinhaltet: [mm] R\subseteq [/mm] S und [mm] S\subseteq [/mm] R.
Bezogen auf Deine Aufgabe heißt das, daß Du zeigen mußt
1.
(A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\backslash[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm]\backslash[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\backslash[/mm] A)
2.
(A [mm]\backslash[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\backslash[/mm] A) [mm] \subseteq [/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\backslash[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B).
Nun muß man sich darauf besinnen, was "Teilmenge" bedeutet. Das war in der Vorlesung dran:
[mm] R\subseteq [/mm] S
<==>
[mm] (x\in [/mm] R ==> [mm] x\in [/mm] S).
Hiermit steht der Plan für 1.
Du mußt zeigen, daß jedes Element, welches in (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\backslash[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) liegt, auch in (A [mm]\backslash[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (B [mm]\backslash[/mm] A) ist.
Also nimmt man sich so ein Element her - und dann geht's los, indem man immer schön die Definitionen und Sätze, die in der Vorlesung gebracht wurden, verwendet, und auch nach jedem Schritt vermerkt, was man verwendet hat.
Beweis:
Sei [mm] x\in [/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\backslash[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B)
==>
[mm] x\in [/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) und [mm] x\not\in [/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) (Nach Def. von \ )
==>
[mm] (x\in [/mm] A oder [mm] x\in [/mm] B) und [mm] (x\not\in [/mm] A oder [mm] x\not\in [/mm] B) (Def. v. Vereinigung und Durchschnitt)
==>...
bis Du am Ende dastehen hast
==> [mm] x\in (A\backslash [/mm] B) oder [mm] x\in [/mm] (B \ A)
==> [mm] x\in [/mm] (A \ [mm] B)\cup [/mm] (B \ A)
Gruß v. Angela
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Hi!
Danke schonmal für die fixe Antwort. Auch wenn's doof klingt, aber genau bis zu dem Punkt, wo deine Punkte ... kommen, war ich auch schon. Hab mich irgendwie geweigert Distributivität anzuwenden, da es mir irgendwie "falsch aussah".
Wenn doch, wäre es dann korrekt wie folgt weiter zu machen
...
[mm] \Rightarrow
[/mm]
(x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] A) oder (x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] B) oder (x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] A) oder (x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] B) (Distributivität)
[mm] \Rightarrow
[/mm]
(x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] B) oder (x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] A) (erste und letzte Klammer sind murks und sind rausgeflogen, aber mathematische Begründung?)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A \ B) oder x [mm] \in [/mm] (B \ A)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A \ B) [mm] \cup [/mm] x [mm] \in [/mm] (B \ A)
Wenn das erstmal so richtig sein sollte, muss ich dann wirklich das ganze nochmal "rückwärts" beweisen, oder ist es (zumindest in diesem Beispiel) erlaubt statt [mm] \Rightarrow \gdw [/mm] zu benutzen?
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> Hi!
>
> Danke schonmal für die fixe Antwort. Auch wenn's doof
> klingt, aber genau bis zu dem Punkt, wo deine Punkte ...
> kommen, war ich auch schon.
Hallo,
das kann ich mir gut vorstellen - aber ich wußte natürlich nicht, wo dein Problem liegt.
Deshalb ist eine Regel im Forum: eigene Lösungsansätze präsentieren, konkrete Fragen stellen.
Man kommt so schneller zum Kern des Problems.
> ...
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> (x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] A) oder (x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] B)
> oder (x [mm]\in[/mm] B und x [mm]\not\in[/mm] A) oder (x [mm]\in[/mm] B und x [mm]\not\in[/mm]
> B) (Distributivität)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> (x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] B) oder (x [mm]\in[/mm] B und x [mm]\not\in[/mm] A)
> (erste und letzte Klammer sind murks und sind
> rausgeflogen, aber mathematische Begründung?)
Es kann nicht x gleichzeitig Element und Nichtelement von A sein. Das reicht.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (A \ B) oder x [mm]\in[/mm] (B \ A)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] (A \ B) [mm]\cup[/mm] x [mm]\in[/mm] (B \ A)
>
> Wenn das erstmal so richtig sein sollte,
Ist es.
> muss ich dann
> wirklich das ganze nochmal "rückwärts" beweisen, oder ist
> es (zumindest in diesem Beispiel) erlaubt statt [mm]\Rightarrow \gdw[/mm]
> zu benutzen?
Natürlich mußt Du nicht alles nochmal aufschreiben.
Geh den Beweis von hinten ganz langsam durch, und schau, ob Du Äquivalenzpfeile setzen darfst.
Dann hast Du die andere Richtung gespart. Das ist erlaubt.
Ich rate nur immer zu etwas Vorsicht, manchmal ist man schneller und erfolgreicher, wenn man ein bißchen mehr schreibt.
Gruß v. Angela
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