symmetrische Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:49 Mi 08.06.2005 | | Autor: | plobebo |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leute!! ich weiß es ist etwas kurzfristig, aber ich habe mal wie immer zu spät angefangen meine hausaufgaben zu machen. ich habe große probleme bei folgender aufgabe u. bitte um euren rat:
Es seien V ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der Dimension n < [mm] \infty [/mm] und [mm] \beta [/mm] eine symmetrische Bilinearform auf V mit Rang n und Signatur p. Ferner sei U ein Untervektorraum von V maximaler Dimension mit [mm] \beta(x,y) [/mm] = 0 für alle x,y [mm] \in [/mm] U. Zeigen Sie:
dimU = min [mm] \{ \bruch{n+p}{2}, \bruch{n-p}{2} \}
[/mm]
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Ich habe die gleiche Aufgabe wie oben. Die Aussage stimmt. Den bei meinen obigen Poster ist hat die Billinearform nicht vollen Rang. Allerdings kann ich die Aussage nicht beweisen.
Ich schreib noch einmal die Dimension um:
o.B.d.A kann ich Annehmen, dass die Matrix von der Billinearform bzgl. einer Basis [mm] $b_1,\ldots, b_n$ [/mm] die folgende Form hat:
[mm] $A:=diag(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1)$
[/mm]
Die Anzahl der 1 ist s und Anzahl der -1 ist $n-s$. Es gibt keine Nullzeilen, da $dimV = [mm] rg(\beta) [/mm] =n$
Zu zeigen ist in anderen Worten:
[m]dimU=min(s,n-s)[/m]
Was ich weiß, ist dass für $k:=min(s,n-s)$ gilt:
[mm] $\beta(v_{i}+v_{s+i},v_{i}+v_{s+i})=0$
[/mm]
[mm] $\beta(v_{i}-v_{s+i},v_{i}-v_{s+i})=0$
[/mm]
für [mm] $i\leq [/mm] k$
Außerdem ist
[mm] $\beta(v_{i}-v_{s+i},v_{i}+v_{s+i})=2$
[/mm]
Wenn ich mir jetzt den maximalen Untervektorraum U aus V mit [mm] $\forall u,v\in [/mm] U : [mm] \beta(u,v)=0$ [/mm] betrachte. Suche ich eine Basis. Doch wie sieht die aus? In der Vorlesung hatten wir weder isotrope Untervektrorraum noch hyperbolische Ebenen.
Kann mir bitte jemand erklären, wie das beweisen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 25.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo!
Irgendwie ist in dieser Aufgabe der Wurm drin. Z.B. habe ich mit [mm] $\bruch{n+p}{2}$ [/mm] meine Probleme: Das ist häufig keine ganze Zahl!
Das einfachst Gegenbeispiel gegen die Formel ist: [mm] $\beta:\ \IR\times\IR\to\IR,\ (x,y)\mapsto [/mm] 0$. Diese symmetrische Bilinearform hat Signatur $0$. Es ist also $n=1$ und $p=0$.
Es gibt aber einen eindimensionalen Unterraum [mm] $U=\IR$ [/mm] der gesuchten Eigenschaft. Und [mm] $1\ne\min\left\{\bruch{1-0}{2};\bruch{1+0}{2}\right\}=\bruch [/mm] 12$...
Gruß, banachella
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