sym. Matrizen nur reel. Eigw. < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Symmetrische Matrizen besitzen ausschließlich reelle Eigenwerte.
Beweis: Der Einfachheit halber zeigen wir dies sogar für hermitesche Matrizen A . Sei
hierzu Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A mit zugehörigem Eigenvektor x. Dann folgt:
[mm] \lambda x^H [/mm] x= [mm] x^H \lambda [/mm] x = [mm] x^H [/mm] A x = [mm] x^H A^H [/mm] x = [mm] (Ax)^H [/mm] x = [mm] (\lambda x)^H [/mm] x = [mm] x^H \overline{\lambda} [/mm] x
Also ist reell.
huhu, die Rechenschritte sind mir geläufig. Ich verstehe nur nicht, woher man den Start herzaubert, nämlich
[mm] \lambda x^H [/mm] x
woher nimmt man dies?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 Do 16.08.2012 | | Autor: | hippias |
Ich denke, man muss nicht mit diesem Term anfangen, jeder andere in der Gleichungskette haette es auch getan. Ich persoehnlich haette wohl eher mit dem dritten Term angefangen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Do 16.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Symmetrische Matrizen besitzen ausschließlich reelle
> Eigenwerte.
> Beweis: Der Einfachheit halber zeigen wir dies sogar für
> hermitesche Matrizen A . Sei
> hierzu Eigenwert [mm]\lambda[/mm] von A mit zugehörigem
> Eigenvektor x. Dann folgt:
>
> [mm]\lambda x^H[/mm] x= [mm]x^H \lambda[/mm] x = [mm]x^H[/mm] A x = [mm]x^H A^H[/mm] x =
> [mm](Ax)^H[/mm] x = [mm](\lambda x)^H[/mm] x = [mm]x^H \overline{\lambda}[/mm] x
> Also ist reell.
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> huhu, die Rechenschritte sind mir geläufig. Ich verstehe
> nur nicht, woher man den Start herzaubert, nämlich
>
> [mm]\lambda x^H[/mm] x
>
> woher nimmt man dies?
Was wollen wir ? Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so hätte wir gerne: $ [mm] \lambda= \overline{\lambda}.$
[/mm]
Dazu wählen wir ein $x [mm] \ne [/mm] 0 $ mit $Ax= [mm] \lambda [/mm] x$. Wir können $||x||=1$ annehmen, alsi $x^Hx=1$. Dann:
$ [mm] \lambda= \lambda [/mm] x^Hx= ....= [mm] \overline{\lambda}x^Hx= \overline{\lambda}$
[/mm]
FRED
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> Dazu wählen wir ein [mm]x \ne 0[/mm] mit [mm]Ax= \lambda x[/mm]. Wir können
> [mm]||x||=1[/mm] annehmen, alsi [mm]x^Hx=1[/mm].
Ahh. Das wusste ich nicht! Das hat mir beim Verständnis gefehlt, danke!
Dann:
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> [mm]\lambda= \lambda x^Hx= ....= \overline{\lambda}x^Hx= \overline{\lambda}[/mm]
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> FRED
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