surjektivität und injektivität < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Do 23.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
| Aufgabe | Es sei N = {1, 2, 3, . . .} die Menge der natürlichen Zahlen, durch f | N×N−→N mit
f(x, y) = x · y ist eine Funktion definiert.
(a) Ist f surjektiv? Begründen Sie Ihre Antwort!
(b) Bestimmen Sie die Menge {f−1(12)} aller Urbilder von 12.
(c) Ist f injektiv? Begründen Sie Ihre Antwort! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, also diese Aufgabe ist aus einer Klausur.
Was surjektiv und injektiv bedeutet kann ich mir vorstellen aber ich weiss jetzt nicht genau wie ich das bei a) und c) darstellen soll, das es so ist.
die Funktion heisst ja: f(x,y) = x*y. Soll ich dann jetzt beliebige natürliche Zahlen, die ja als Menge angegeben ist in die Funktion einsetzen?
In diesem Gebiet bin ich leider nicht sehr schlau.
In den Übungen haben wir soetwas leider auch nicht direkt gemacht.
Ich würde mich um Hilfe sehr freuen,
vielen Dank!
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Hallo Tobi85,
> Es sei [mm]\IN = \{1, 2, 3, . . .\}[/mm] die Menge der natürlichen
> Zahlen, durch [mm]f:\IN\times\IN\to\IN[/mm] mit
> [mm]f(x, y) = x \cdot{} y[/mm] ist eine Funktion definiert.
> (a) Ist f surjektiv? Begründen Sie Ihre Antwort!
> (b) Bestimmen Sie die Menge [mm]f^{-1}(12)[/mm] aller Urbilder von
> 12.
> (c) Ist f injektiv? Begründen Sie Ihre Antwort!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Klicke mal auf die Formeln, ich habe etwas editiert, dann siehst du, wie man das leserlich eintippen kann ...
>
> Hallo, also diese Aufgabe ist aus einer Klausur.
> Was surjektiv und injektiv bedeutet kann ich mir
> vorstellen aber ich weiss jetzt nicht genau wie ich das bei
> a) und c) darstellen soll, das es so ist.
> die Funktion heisst ja: f(x,y) = x*y. Soll ich dann jetzt
> beliebige natürliche Zahlen, die ja als Menge angegeben
> ist in die Funktion einsetzen?
Na, wenn die Funktion surjektiv sein soll, so muss es zu jedem Element aus dem Zielbereich ein Element aus dem Urbildbereich geben, dass auf das Element aus dem Zielebreich abgebildet wird.
Es muss also zu jeder nat. Zahl [mm]n\in\IN[/mm] ein Urbild [mm](x,y)\in\IN\times\IN[/mm] geben, so dass [mm]f(x,y)=n[/mm] ist.
Gib dir ein bel. [mm]n\in\IN[/mm] vor und finde ein Paar [mm](x,y)\in\IN\times\IN[/mm] mit [mm]f(x,y)=x\cdot{}y=n[/mm]
Das ist nicht schwer zu finden ...
Zu c) als Tipp: zB. [mm]6=2\cdot{}3=3\cdot{}2[/mm] ... oder [mm]12=3\cdot{}4=6\cdot{}2[/mm] ...
b) kriegst du hin, oder?
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> In diesem Gebiet bin ich leider nicht sehr schlau.
> In den Übungen haben wir soetwas leider auch nicht direkt
> gemacht.
>
> Ich würde mich um Hilfe sehr freuen,
> vielen Dank!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Do 23.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Dankeschön für die Antwort.
zu a)
Also wenn ich nun als $ [mm] n\in\IN [/mm] $ zum Beispiel 2 wähle. Und dann wäre mein paar $ [mm] (x,y)\in\IN\times\IN [/mm] $ für $ [mm] f(x,y)=x\cdot{}y=n [/mm] $ : $ [mm] f(1,2)=1\cdot{}2=2 [/mm] $ ?
und bei c) wäre es dann auch injektiv, weil ja für jedes paar wo du mir als Beispiel gegeben hast, dann das selbe $n$ existiert oder?
Über b) hab ich mir noch keine Gedanken gemacht aber ich muss doch dann einfach die Umkehrfunktion bilden und dann schauen welche Wertepaare aus $ [mm] f(x,y)=x\cdot{}y=n [/mm] $ 12 ergeben oder?
Danke!
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Hallo nochmal,
> Dankeschön für die Antwort.
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> zu a)
> Also wenn ich nun als [mm]n\in\IN[/mm] zum Beispiel 2 wähle. Und
> dann wäre mein paar [mm](x,y)\in\IN\times\IN[/mm] für
> [mm]f(x,y)=x\cdot{}y=n[/mm] : [mm]f(1,2)=1\cdot{}2=2[/mm] ?
Ja, für das Bsp. $n=2$ aus dem Zielbereich ist das Paar (1,2) ein passendes.
Du musst es aber schon allg. machen, gib ein Päärchen für bel. [mm] $n\in\IN$ [/mm] an ...
>
> und bei c) wäre es dann auch injektiv, weil ja für jedes
> paar wo du mir als Beispiel gegeben hast, dann das selbe [mm]n[/mm]
> existiert oder?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Nein, mit den Tipps habe ich dir schon 2 Gegenbsp. zur Injektivität geschrieben.
Was bedeutet Injektivität?
Das scheinst du noch nicht ganz verinnerlicht zu haben ...
Also beschreibe genau, was injektiv bedeutet, am besten Definition und in Worten erklären!
>
> Über b) hab ich mir noch keine Gedanken gemacht aber
> ich muss doch dann einfach die Umkehrfunktion bilden und
> dann schauen welche Wertepaare aus [mm]f(x,y)=x\cdot{}y=n[/mm] 12
> ergeben oder?
Nein, das [mm] $f^{-1}(12)$ [/mm] ist nicht die Umkehrfunktion, das ist die Urbildmenge zum Element 12 aus dem Zielbereich.
[mm] $f^{-1}(12)$ [/mm] ist eine Teilmenge des Urbildbereiches, also [mm] $f^{-1}(12)\subset\IN\times\IN$
[/mm]
Darin sind alle Paare [mm] $(x,y)\in\IN\times\IN$, [/mm] die auf $12$ abgebildet werden!
>
> Danke!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Do 23.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
zu a)
Sorry leider weiss ich nicht wie das nun genau allgemein für belirbihr $n [mm] \in \IN$ [/mm] angeben soll.
zu b)
Also injektivität bedeutet das jedes Element aus der Zielmenge die ist ja auch [mm] $\IN$ [/mm] oder nur einmal als Funktionswert angenommen wird. Wie du ja sagtest 12 ergibt 2*6 oder 3*4 also werden 2 verschiedene Elemente auf dasselbe Element der Zielmenge abgebildet.
und Formal: [mm] $\vorall [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : f(x) = y$
zu c)
ah nun glaube ich habe ich das etwas besser verstanden.
also quasi wie oben. Alle paare aus $ [mm] f^{-1}(12)\subset\IN\times\IN [/mm] $ sind dann 3*4,4*3,2*6,6*2?
Gruß zurück und danke für die Hilfe immer.
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Hallo nochmal,
> zu a)
> Sorry leider weiss ich nicht wie das nun genau allgemein
> für belirbihr [mm]n \in \IN[/mm] angeben soll.
Doch, weißt du!
Wie hast du denn das (ein) passendes Paar zu $n=2$ gefunden?
Du hast es als [mm] $1\cdot{}2$ [/mm] geschrieben und hattest damit das Paar $(1,2)$:
[mm] $f(1,2)=1\cdot{}2=2$
[/mm]
Wie sieht es nun für allg. [mm] $n\in\IN$ [/mm] aus?
>
> zu b)
> Also injektivität bedeutet das jedes Element aus der
> Zielmenge die ist ja auch [mm]\IN[/mm] oder nur einmal als
> Funktionswert angenommen wird.
Na, "jedes Element" ist übertrieben. Sagen wir besser: es dürfen nicht verschiedene Urbilder auf ein- und denselben Wert im Zielbereich abgebildet werden ...
> Wie du ja sagtest 12 ergibt
> 2*6 oder 3*4 also werden 2 verschiedene Elemente auf
> dasselbe Element der Zielmenge abgebildet.
Genau! Also ist die Funktion nicht injektiv!
> und Formal: [mm]\vorall x \in B \exists x \in A : f(x) = y[/mm]
Nein, das ist Quark, so habt ihr nie und nimmer Injektivität definiert!
>
> zu c)
> ah nun glaube ich habe ich das etwas besser verstanden.
> also quasi wie oben. Alle paare aus
> [mm]f^{-1}(12)\subset\IN\times\IN[/mm] sind dann 3*4,4*3,2*6,6*2?
Du musst die Paare schon als Paare notieren: $(3,4),(4,3),...$
Es gibt aber noch weitere ...
Auf welche Weise(n) kann man 12 noch als Produkt zweier nat. Uahlen darstellen?
>
> Gruß zurück und danke für die Hilfe immer.
Gruß
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Do 23.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Stimmt das hab ich so gemacht.
Also habe ich dann eigentlich ja sowas gemacht:
$ [mm] f(x,y)=x\cdot{}y=y [/mm] $
stimmt stimmt stimmt haben wir nicht, das war bei Surjektivität...
injektivität: [mm] $\forall [/mm] a, b [mm] \in [/mm] A : a+b [mm] \Rightarrow [/mm] f(a) [mm] \not= [/mm] f(b) $
ohh okay ich verstehe: also: (3,4),(4,3),(2,6),(6,2),(1,12),(12,1)
Gruß!
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Hallo nochmal,
> Stimmt das hab ich so gemacht.
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> Also habe ich dann eigentlich ja sowas gemacht:
> [mm]f(x,y)=x\cdot{}y=y[/mm]
Ok, um es zum Ende zu bringen: du nimmst dir ein bel. [mm]n\in\IN[/mm], also aus dem Zielbereich her, dann ist das Paar [mm](1,n)[/mm] (auch [mm](n,1)[/mm] tut es ) aus dem Urbildbereich [mm]\IN\times\IN[/mm] passend, denn [mm]f(1,n)=n[/mm]
>
> stimmt stimmt stimmt haben wir nicht, das war bei
> Surjektivität...
> injektivität: [mm]\forall a, b \in A : a+b \Rightarrow f(a) \not= f(b)[/mm]
Wenn das "+" ein "[mm]\neq[/mm]" ist, dann stimmt's
>
> ohh okay ich verstehe: also:
> (3,4),(4,3),(2,6),(6,2),(1,12),(12,1)
Jo, schön geschrieben dann: [mm]f^{-1}(12)=\{(3,4),...\}[/mm]
Fülle die Menge entsprechend auf!
>
> Gruß!
Jo
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Do 23.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Okay nun verstehe ich es. Also ist die Funktion surjektiv aber nicht injektiv.
Vielen Dank, das wird mir für die Klausur sehr helfen.
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Hallo nochmal,
> Okay nun verstehe ich es. Also ist die Funktion surjektiv
> aber nicht injektiv.
So ist es!
> Vielen Dank, das wird mir für die Klausur sehr helfen.
Ja, dann drücke ich mal die Daumen, wann ist es denn soweit?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Do 23.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Dankesehr!
Am 11.07.
Aber ich bin ja gerade noch an den Klausuren von den letzten Semestern und da kommen noch einige Aufgaben. Ich glaube da werde ich sicher nochmal was posten hier hehe.
Aber echt tolle Hilfe danke!
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