surjektiv, injektiv, bijektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Cutie |
Hi, ich habe eine Frage undzwar soll ich die Funktionen auf injektivität, surjektivität und bijektivität untersuchen und ich bin mir nicht ganz sicher. Es wäre sehr nett, wenn mir jemand dabei hlefen würde.
a) f: [mm] \IN \to \IN, [/mm] f(n)=n hoch 2
b) f: [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ \to \IZ, [/mm] f(a,b)= a+b
c) f: [mm] \IN \to \IN [/mm] x [mm] \IN, [/mm] f(n)= (n,n+2)
d) f: [mm] \IZ [/mm] x [mm] \IZ \to \IZ [/mm] x [mm] \IZ, [/mm] f(a,b)= (ab,a-b)
Ist a) nicht injektiv b) nicht injektiv aber surjektiv, da a,b [mm] \in [/mm] 2 ist.
Und c) injektiv, weil n,n´ [mm] \in \IN [/mm] gelte f(n)=f(n´)
Könnte mir vielleicht jemand aufschreiben, wei ich es richtig beweisen kann.
Ich danke im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Hi, ich habe eine Frage undzwar soll ich die Funktionen auf
> injektivität, surjektivität und bijektivität untersuchen
> und ich bin mir nicht ganz sicher. Es wäre sehr nett, wenn
> mir jemand dabei hlefen würde.
>
> a) f: [mm]\IN \to \IN,[/mm] f(n)=n hoch 2
> b) f: [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ \to \IZ,[/mm] f(a,b)= a+b
> c) f: [mm]\IN \to \IN[/mm] x [mm]\IN,[/mm] f(n)= (n,n+2)
> d) f: [mm]\IZ[/mm] x [mm]\IZ \to \IZ[/mm] x [mm]\IZ,[/mm] f(a,b)= (ab,a-b)
>
> Ist a) nicht injektiv
Doch! (Der Definitionsbereich ist ja [mm] $\IN$!). [/mm] Aber $f$ ist nicht surjektiv, da es kein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $f(n)=n^2=2$ [/mm] etwa...
b) nicht injektiv aber surjektiv, da
> a,b [mm]\in[/mm] 2 ist.
Die Begründung macht keinen Sinn, die Aussage ist aber richtig.
Surjektiv: Für alle $y [mm] \in \IZ$ [/mm] gilt: $f(z,0)=0$.
Nicht injekitv: Es gilt: $0=f(0,0) = f(1,-1)= [mm] \ldots$
[/mm]
> Und c) injektiv, weil n,n´ [mm]\in \IN[/mm] gelte f(n)=f(n´)
c) Ist injektiv, richtig, weil aus $f(n) = (n,n+2) = (m,m+2) = f(m)$ insbesondere (Vergleich der ersten Komponenten) $m=n$ folgt...
Bei d) solltest du mal beachten, dass $f(1,1) = f(-1,-1)$ gilt.
Na? Was folgt daraus?
Und surjektiv ist $f$ schon mal gar nicht. Oder wie sollte man ein $(a,b) [mm] \in \IZ \times \IZ$ [/mm] mit $f(a,b) = (ab,a-b) = (1,1)$ finden?
Liebe Grüße
Stefan
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