sup(A^-1)=(inf A)^-1 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei A eine nicht leere Teilmenge des [mm] \IR; [/mm] ist A nach unten beschränkt mit inf(A)>0 so ist die Menge [mm] A^{-1}:=\{a^{-1}| a \in A\} [/mm] nach oben beschränkt und für diese gilt [mm] sup(A^{-1})=(inf A)^{-1} [/mm] |
i:=inf A sowie s:=sup [mm] A^{-1}
[/mm]
a [mm] \in [/mm] A
[mm] \bruch{1}{a} \in A^{-1}
[/mm]
Dann gilt:
i<a, mit i>0
Weiterhin ist [mm] \bruch{1}{a}
Nun bleibt zu zeigen, dass es kein s'<s gibt, dass zugleich obere Schranke von [mm] A^{-1} [/mm] ist. Ich denke dass hier ein Beweis durch Widerspruch am Besten ist;
Angenommen es gäbe ein s'<s welches zugleich obere Schranke von [mm] A^{-1} [/mm] ist. Dann gilt [mm] \bruch{1}{a}
Nun komme ich nicht mehr weiter. Wie muss ich weitermachen? Stimmt überhaupt der obere Teil?
Danke.
Gruß
Alex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Fr 01.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Alex!
> Es sei A eine nicht leere Teilmenge des [mm]\IR;[/mm] ist A nach
> unten beschränkt mit inf(A)>0 so ist die Menge
> [mm]A^{-1}:=\{a^{-1}| a \in A\}[/mm] nach oben beschränkt und für
> diese gilt [mm]sup(A^{-1})=(inf A)^{-1}[/mm]
>
> i:=inf A sowie s:=sup [mm]A^{-1}[/mm]
> a [mm]\in[/mm] A
> [mm]\bruch{1}{a} \in A^{-1}[/mm]
>
> Dann gilt:
> i<a, mit i>0
Nein. Es gilt $i [mm] \le [/mm] a$. Schliesslich koennte das Infimum auch gleichzeitig ein Minimum sein.
> Weiterhin ist [mm]\bruch{1}{a}
Ebenso: [mm] $\frac{1}{a} \le [/mm] s$.
> s ist also obere Schranke von [mm]A^{-1}.[/mm]
Nein. Du nimmst an, dass $s$ das Supremum von [mm] $A^{-1}$ [/mm] ist, also ist es deswegen eine obere Schranke. Und darum gilt [mm] $\frac{1}{a} \le [/mm] s$.
> Nun bleibt zu zeigen, dass es kein s'<s gibt, dass
> zugleich obere Schranke von [mm]A^{-1}[/mm] ist. Ich denke dass hier
> ein Beweis durch Widerspruch am Besten ist;
>
> Angenommen es gäbe ein s'<s welches zugleich obere Schranke
Du hast $s$ als das Supremum von [mm] $A^{-1}$ [/mm] definiert. Also gibt es so ein $s'$ per Definition nicht!
> von [mm]A^{-1}[/mm] ist. Dann gilt [mm]\bruch{1}{a}
Und zwar fuer jedes $a [mm] \in [/mm] A$.
> Nun komme ich nicht mehr weiter. Wie muss ich weitermachen?
Es gilt $0 < [mm] \frac{1}{a} [/mm] < s' < s$. Also gilt $0 < [mm] \frac{1}{s} [/mm] < [mm] \frac{1}{s'} [/mm] < [mm] \frac{1}{\frac{1}{a}} [/mm] = a$.
> Stimmt überhaupt der obere Teil?
Deine obige Argumentation soll wohl fuer $s := [mm] \frac{1}{i}$ [/mm] gelten, und du willst zeigen, dass $s$ die kleinste obere Schranke von [mm] $A^{-1}$ [/mm] ist.
Also: Ist $b [mm] \in A^{-1}$, [/mm] so gibt es ein $a [mm] \in [/mm] A$ mit $b = [mm] a^{-1}$. [/mm] Nun gilt $0 < i [mm] \le [/mm] a$, also $s = [mm] \frac{1}{i} \ge \frac{1}{a} [/mm] = b$. Damit ist $s$ obere Schranke von [mm] $A^{-1}$.
[/mm]
Und jetzt nimm dir (wie du schon oben schriebst) eine weitere obere Schranke $s'$ von [mm] $A^{-1}$. [/mm] Dann muss $s' > 0$ sein (warum?). Es gilt also $0 < s' < s = [mm] \frac{1}{i}$. [/mm] Damit gilt $i = [mm] \frac{1}{s} [/mm] < [mm] \frac{1}{s'}$. [/mm] Da nun $i$ das Infimum von $A$ ist, gibt es also ein $a [mm] \in [/mm] A$ mit $s [mm] \le [/mm] a < s'$. ... kommst du jetzt alleine weiter?
LG Felix
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Neuer Versuch:
i:=inf A
s sei eine obere Schranke von [mm] A^{-1}
[/mm]
a [mm] \in [/mm] A
und [mm] \bruch{1}{a} \in A^{-1} [/mm] für alle a [mm] \in [/mm] A
Ferner gelte: [mm] \bruch{1}{i}=s
[/mm]
A ist nach unten beschränkt und besitzt ein Infinum i, welches größer Null ist. Also gilt [mm] 0
Weiterhin ist dann [mm] \bruch{1}{a}\le [/mm] s.
[mm] \Rightarrow [/mm] s ist obere Schranke von [mm] A^{-1}
[/mm]
Angenommen es gäbe ein s'<s welches auch noch obere Schranke von [mm] A^{-1} [/mm] ist. Dann würde [mm] \bruch{1}{a}\le [/mm] s und s'<s gelten.
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{a}\le [/mm] s'<s für alle a [mm] \in [/mm] A.
Daraus folgt, dass
[mm] 0
Dies steht im Widerspruch zur Definition des Infimums von A:
Es würde dann [mm] i<\bruch{1}{s'}
Stimmt jetzt alles?
Danke.
Gruß
Alex
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 09.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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