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subharmonisch: Aufgabe
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 23:23 So 03.07.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
Vielleicht ist diese Aufgabe hier ja gar nicht so schwierig?

Es seien [mm] G\subset\IC [/mm] ein Gebiet und [mm] u\in C^2(G) [/mm] reellwertig. Dann heißt u subharmonisch, falls [mm] \Delta u\ge [/mm] 0 in G. Zeige: Die Funktion u ist subharmonisch genau dann, wenn
[mm] u(z)\le h_z(r):= \integral_0^{2\pi}u(z+re^{i\theta})\bruch{d\theta}{2\pi} [/mm] für alle [mm] B_r(z)\subset [/mm] G.

Hinweis: Zeige, dass [mm] r\mapsto h_z(r) [/mm] monoton wachsend ist für [mm] z\in [/mm] G fest. Berechne hierzu die Ableitung [mm] r(rh_z'(r))'. [/mm] Nimm zunächst an, dass [mm] \Delta{u}>0, [/mm] und betrachte dann [mm] u(z)+\varepsilon|z|^2. [/mm]

Was bedeutet denn [mm] r(rh_z'(r))'? [/mm] Heißt das "r von" oder "r mal" oder was soll das bedueten, dass da das r vor der Klammer steht?

Viele Grüße
Bastiane
[gutenacht]

        
Bezug
subharmonisch: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 Mi 06.07.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Ich zeige nur die eine Richtung, d.h.

$u$ subharmonisch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u$ genügt der Mittelwertungleichung

Zunächst einmal halten wir fest, dass der Laplace-Operator in Polarkoordinaten wie folgt lautet:

(1) [mm] $\Delta [/mm] = [mm] \frac{\partial^2}{\partial r^2} [/mm] + [mm] \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} [/mm] + [mm] \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2}{\partial}{\phi^2}$. [/mm]

Weiterhin gilt offensichtlich:

(2) [mm] $\frac{1}{r^2}\int\limits_0^{2\pi} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}u(re^{i\phi})\, \frac{d\phi}{2\pi} [/mm] = 0$.

Und man rechnet nach, dass

(3) $r(rh'(r))' = [mm] \int\limits_0^{2\pi} \left[\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}u(re^{i\phi}) + \frac{\partial^2}{\partial r^2} u(re^{i\phi}) \right] \frac{d\phi}{2\pi}$. [/mm]

Aus (1)-(3) folgt;

$r(rh'(r))' = [mm] \int\limits_0^{2\pi} \Delta u(re^{i\phi}) \frac{d\phi}{2\pi} \ge [/mm] 0$,

nach Voraussetzung.

Für $r [mm] \ge [/mm] 0$ folgt also: $(rh'(r))' [mm] \ge [/mm] 0$, und wegen $rh'(r)=0$ für $r=0$ dann:

$rh'(r) [mm] \ge [/mm] 0$  für alle $r [mm] \ge [/mm] 0$.

Dies bedeutet: $h'(r) [mm] \ge [/mm] 0$, was zu zeigen war.

Wegen $h(0) [mm] \le [/mm] h(r)$ folgt dann die Behauptung.

Ich muss jetzt Schluss machen. Schreibe es einfach ab. :-)

Die Rückrichtung könnte ich nur sehr umständlich mit Hilfe der Harmonisierung von $u$ zeigen, das würde ewig dauern. Ich sehe gerade nicht, wie man es elementar zeigen kann. [haee]

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
subharmonisch: Danke.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:10 Do 07.07.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!
Hatte ich doch bei einer Aufgabe vergessen, danke zu sagen. Also jetzt: Danke für die Antwort! Das wird denke ich für die Klausur noch so reichen, mit der halben Aufgabe... Hoffe ich jedenfalls. :-)

Viele Grüße
Christiane
[cap]

Bezug
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