(sub)-additive Mengenfkt P(IR) < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Arniebo |
| Aufgabe | Sei [mm] \mu_1 [/mm] : [mm] \mathcal{P}(\IR) \to[/mm] [mm] \bar \IR_+ [/mm];
[mm] \mu_1 =\begin{cases} 0, & \mbox{für } \mathcal{A} \mbox{ beschränkt} \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie:
a) [mm] \mu_1 [/mm] ist nicht additiv
b) [mm] \mu_1 [/mm] ist subadditiv
c) [mm] \mu_1 [/mm] ist nicht [mm] \sigma [/mm] - additiv
d) [mm] \mu_1 [/mm] ist nicht [mm] \sigma [/mm] - subadditiv |
Hallo,
zu der Aufgabe finde ich leider keinen Ansatz. In der Aufgabenstellung ist zuvor noch die allgemeine Definition von Subadditivität und [mm] \sigma [/mm] - Subadditivität angegeben, bezogen auf eine Mengenfunktion [mm] \mu [/mm] : M [mm] \to[/mm] [mm] \bar \IR [/mm] auf einem Mengensystem [mm] \mathcal{M} [/mm] und den Mengen [mm] \mathcal{A} \in \mathcal{M}. [/mm]
Da aus [mm] \sigma [/mm] - additiv die [mm] \sigma [/mm] - subadditiv folgt, würde also folgen
nicht [mm] \sigma [/mm] - subadditiv [mm] \Rightarrow [/mm] nicht [mm] \sigma [/mm] - additiv,
wenn ich d) also gezeigt habe, ergibt sich c) damit auch.
Für a) müsste ich ein Beispiel finden, sodass [mm] \mu_1 [/mm] ( [mm] \bigcup_{i=1}^{n} A_i) [/mm] = [mm] \mu_1(A) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \mu_1(A_i) [/mm] nicht zutrifft. Mein erster Versuch war mit der Menge [mm] \mathcal{P}(\left\{ 1,2 \right\}). [/mm] Damit erhält man die Menge [mm] {\emptyset, \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2 \right\}, \left\{ 1,2 \right\}} [/mm] mit [mm] A_1=\emptyset, A_2=\left\{ 1 \right\}, A_3=\left\{ 2 \right\}, A_4=\left\{ 1,2 \right\}. [/mm] Mit der Mengenfunktion [mm] \mu_1 [/mm] ergibt das aber leider keine Unterscheidung in beschränkt und nicht beschränkt, sodass die Gleichung noch erfüllt ist. Weitere Ideen und vor allem Mengen in [mm] \IR [/mm] oder Potenzmengen, sodass bei der Vereinigung eine beschränkte Menge entsteht und bei den Einzelmengen nicht, fehlt mir leider. Ich hoffe, ihr könnt mir vielleicht einen kleinen Tipp oder Ratschlag geben, wie man an die Aufgabe weiter herangehen kann.
Vielen Dank im Voraus und mit lieben Gruß,
Melanie
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> Sei [mm]\mu_1[/mm] : [mm]\mathcal{P}(\IR) \to[/mm] [mm]\bar \IR_+ [/mm];
> [mm]\mu_1 =\begin{cases} 0, & \mbox{für } \mathcal{A} \mbox{ beschränkt} \\ 1, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> a) [mm]\mu_1[/mm] ist nicht additiv
> b) [mm]\mu_1[/mm] ist subadditiv
> c) [mm]\mu_1[/mm] ist nicht [mm]\sigma[/mm] - additiv
> d) [mm]\mu_1[/mm] ist nicht [mm]\sigma[/mm] - subadditiv
> Hallo,
>
> zu der Aufgabe finde ich leider keinen Ansatz. In der
> Aufgabenstellung ist zuvor noch die allgemeine Definition
> von Subadditivität und [mm]\sigma[/mm] - Subadditivität angegeben,
> bezogen auf eine Mengenfunktion [mm]\mu[/mm] : M [mm]\to[/mm] [mm]\bar \IR[/mm] auf
> einem Mengensystem [mm]\mathcal{M}[/mm] und den Mengen [mm]\mathcal{A} \in \mathcal{M}.[/mm]
>
> Da aus [mm]\sigma[/mm] - additiv die [mm]\sigma[/mm] - subadditiv folgt,
> würde also folgen
> nicht [mm]\sigma[/mm] - subadditiv [mm]\Rightarrow[/mm] nicht [mm]\sigma[/mm] -
> additiv,
> wenn ich d) also gezeigt habe, ergibt sich c) damit auch.
>
> Für a) müsste ich ein Beispiel finden, sodass [mm]\mu_1[/mm] (
> [mm]\bigcup_{i=1}^{n} A_i)[/mm] = [mm]\mu_1(A)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \mu_1(A_i)[/mm]
> nicht zutrifft. Mein erster Versuch war mit der Menge
> [mm]\mathcal{P}(\left\{ 1,2 \right\}).[/mm] Damit erhält man die
> Menge [mm]{\emptyset, \left\{ 1 \right\}, \left\{ 2 \right\}, \left\{ 1,2 \right\}}[/mm]
> mit [mm]A_1=\emptyset, A_2=\left\{ 1 \right\}, A_3=\left\{ 2 \right\}, A_4=\left\{ 1,2 \right\}.[/mm]
> Mit der Mengenfunktion [mm]\mu_1[/mm] ergibt das aber leider keine
> Unterscheidung in beschränkt und nicht beschränkt, sodass
> die Gleichung noch erfüllt ist. Weitere Ideen und vor
> allem Mengen in [mm]\IR[/mm] oder Potenzmengen, sodass bei der
> Vereinigung eine beschränkte Menge entsteht und bei den
> Einzelmengen nicht, fehlt mir leider. Ich hoffe, ihr könnt
> mir vielleicht einen kleinen Tipp oder Ratschlag geben, wie
> man an die Aufgabe weiter herangehen kann.
>
Zu a) Schau dir mal an, was passiert, wenn du zwei beschränkte Mengen vereinigst also beispielsweise das Intervall [mm] $\left[0,1\right]$ [/mm] und die Menge [mm] $\left[1,2\right]$. [/mm] Heraus kommt offensichtlich das Intervall $[0,2]$.
Es ist [mm] $\left[0,2\right] \in \mathcal{P}\left(\IR\right)$ [/mm] beschränkt.
Berechne nun [mm] $\mu\left(\left[0,2\right]\right)$ [/mm] und [mm] $\mu\left(\left[0,1\right]\right)+\mu\left(\left[1,2\right]\right)$
[/mm]
> Vielen Dank im Voraus und mit lieben Gruß,
> Melanie
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Arniebo |
Hallo,
dann würde für $ [mm] \mu\left(\left[0,2\right]\right) [/mm] $ und $ [mm] \mu\left(\left[0,1\right]\right)+\mu\left(\left[1,2\right]\right) [/mm] $ 0 und 0+0 herauskommen und damit ist 0=0 in der Gleichung von [mm] \mu_1(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)=\summe_{i=1}^{n}\mu_1(A_i), [/mm] da jeweils alle drei beschränkt sind. Damit habe ich doch allerdings noch kein Gegenbeispiel gefunden - oder sehe ich einfach den Haken gerade nicht? Wenn ich das Intervall auf ein unendlich großes ausdehnen würde, könnte ich es nicht mehr in endliche Teilmengen zerlegen...
Viele Grüße,
Melanie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Arniebo |
Für den Teil d) habe ich die Potenzmenge nun in disjunkte Mengen zerlegt, die jeweils nur ein Element enthalten. Sie sind somit allesamt beschränkt und ergeben ein Gegenbeispiel.
Für a) und b) fehlen mir allerdings Wege...
Liebe Grüße,
Melanie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:12 Do 21.11.2013 | | Autor: | Lustique |
> Für den Teil d) habe ich die Potenzmenge nun in disjunkte
> Mengen zerlegt, die jeweils nur ein Element enthalten. Sie
> sind somit allesamt beschränkt und ergeben ein
> Gegenbeispiel.
> Für a) und b) fehlen mir allerdings Wege...
>
> Liebe Grüße,
> Melanie
Wahrscheinlich ist das für dich nicht mehr relevant, aber so kann das nicht funktionieren. Für [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] betrachtet man abzählbare(!) Vereinigungen von Mengen, und [mm] $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ [/mm] ist natürlich überabzählbar.
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Hallo,
> Hallo,
>
> dann würde für [mm]\mu\left(\left[0,2\right]\right)[/mm] und
> [mm]\mu\left(\left[0,1\right]\right)+\mu\left(\left[1,2\right]\right)[/mm]
> 0 und 0+0 herauskommen und damit ist 0=0 in der Gleichung
Hää?
Das sind doch jeweils beschränkte Intervalle, damit steht da [mm]\mu_1([0,2])=1=2=1+1=\Mu_1([0,1])+\mu_1([1,2])[/mm] Widerspruch ...
> von [mm]\mu_1(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)=\summe_{i=1}^{n}\mu_1(A_i),[/mm]
> da jeweils alle drei beschränkt sind. Damit habe ich doch
> allerdings noch kein Gegenbeispiel gefunden - oder sehe ich
> einfach den Haken gerade nicht?
Einfach [mm]n=2[/mm] und die schon gewählten Intervalle ..
> Wenn ich das Intervall auf
> ein unendlich großes ausdehnen würde, könnte ich es
> nicht mehr in endliche Teilmengen zerlegen...
Verstehe ich nicht ... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> Viele Grüße,
> Melanie
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Fr 08.11.2013 | | Autor: | blascowitz |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich habe die Aufgabe falsch gelesen (wer lesen kann ist klar im Vorteil^^)
Die Mengenfunktion bildet beschränkte Intervalle auf 0 ab, daher ist mein gedachtes Gegenbeispiel gar keins.
Beispielsweise mit $\left[-\infty,0\right]$ und $\left[2,\infty \left]$ lässt sich ein Gegenbeispiel für a) bauen.
Viele Grüße
Blasco
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Fr 08.11.2013 | | Autor: | Arniebo |
Danke erstmal für die Antworten :).
Ich glaube ich habe damit immer noch ein kleines Problem, oder die Aufgabe gar selbst nicht wirklich verstanden. Dieses [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] wurde bei uns mit der Potenzmenge eingeführt und ich weiß noch nicht genau, wie ich von den Intervallen [mm] [2,\infty] [/mm] auf die Potenzmengen komme... Immerhin gilt der [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] als Definitionsbereich.
Im Zusammenhang mit der Teilaufgabe b) müsste das demnach eine Teilmenge aus dem Mengensystem Potenzmenge sein, sodass
[mm] \mu_1(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) \le \summe_{i=1}^{n}\mu_1(A_i) [/mm] ist,
jedoch [mm] \mu_1(\bigcup_{i=1}^{n}A_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}\mu_1(A_i) [/mm] falsch ist. Auf Grund von dem [mm] \le [/mm] also Mengen, sodass [mm] \bigcup_{i=1}^{n}A_i [/mm] beschränkt ist, und mit der Mengenfunkion diese Potenzmenge 0 ergibt in der Bewertung, jedoch [mm] \summe_{i=1}^{n}\mu_1(A_i) [/mm] mindestens 1 als Bewertung mit der Mengenfunktion ergibt, die Einelementigen Mengen aus der Potzenmenge zusammengefasst als Menge also nicht beschränkt sind - da 0 [mm] \le [/mm] 1 ist und die Mengenfunktion auf Grund von dem "Zeigen Sie" wohl subadditiv ist. Genau da liegt mein Problem: zum einen finde ich keine Menge A, die aus den Potenzmengen ist, sodass die Vereinigung beschränkt ist und die Einzelmengen [mm] A_i [/mm] nicht beschränkt sind; zum anderen finde ich aber auch keine Vereinigung aus beschränkten Teilmengen [mm] A_i, [/mm] sodass die Vereinigung nicht beschränkt ist. Wenn die Vereinigung der [mm] A_i [/mm] nicht beschränkt wäre, würde das doch im Fall der Potzenmengen so etwas wie [mm] \IR [/mm] entsprechen, diese unendliche Menge bekomme ich aber nicht in endlich vielen [mm] A_i [/mm] disjunkt zerlegt, zumindest nicht, solange ich diese Potenzmengen vor mir habe...
Zu der Antwort zuvor von schachuzipus : die beschränkten Mengen werden durch die Mengenfunktion doch mit einer 0 bewertet...
Viele Grüße,
Melanie
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Hallo,
also ich denke mal, dass sich schachuzipus ebenfalls verlesen hat (sonst möge man mich korrigieren).
Zu a):
Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, dann lässt sich hier schon mal sehr leicht ein Gegenbeispiel finden:
Betrachte [mm] $A_1=[1,\infty)$ [/mm] und [mm] $A_2=(-\infty,0]$ [/mm] oder irgendwas ähnliches. [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] sind nun offensichtlich beide unbeschränkt und disjunkt, es gilt also [mm] $\mu_1(A_1)=\mu_1(A_2)=1$. [/mm] Betrachte nun [mm] $A_1\cup A_2$. [/mm] Das ist natürlich wieder unbeschränkt:
[mm] $\mu_1(A_1 \dot{\cup} A_2)=1\neq2=1+1=\mu_1(A_1)+\mu_2(A_2)$, [/mm] also ist [mm] $\mu_1$ [/mm] nicht additiv. Die [mm] $\sigma$-Additivität [/mm] sollte sehr ähnlich zu erledigen sein.
Vielleicht reicht dir das ja schon aus, um den Rest selbst hinzubekommen, falls das überhaupt noch relevant ist für dich...
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