stückweise Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Pit |
Hallo,
ich hätte eine Frage zum Begriff der " stückweisen Stetigkeit " einer Funktion von [a,b] [mm] \to [/mm] IR bzw. von IR [mm] \to IR_{+} [/mm] Stetigkeit kenne ich ja,aber was bedeutet hier konkret stückweise Stetigkeit.
Stimmt es,daß bei so einer stk.weisen stetigen Funktion von
[a,b] [mm] \to [/mm] IR bzw. von IR [mm] \to IR_{+} [/mm] das Lebesgue-Integral gleich dem eigentlichen bzw.uneigentlichen Riemann-Integral ist ?
SORRY, daß ich die Frage fälschlicherweise im Oberstufenforum gestellt habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Loddar |
> SORRY, daß ich die Frage fälschlicherweise im
> Oberstufenforum gestellt habe.
Bereits drum "gekümmert" ...
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
ich meine, dass stückweise stetig heißt, dass die Funktion höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen hat. Die Funktion
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x>0 \\ 1, & \mbox{für } x\le 0 \end{cases}$
[/mm]
ist z.B. stückweise stetig (nur eine Unstetigkeitsstelle). Dagegen ist
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \\ 1, & \mbox{für } x \in \mathbb{Q} \end{cases}$
[/mm]
für jede Zahl unstetig, also nicht stückweise stetig.
Gruß Brackhaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Do 10.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich kenne stückweise steige funktionen, als funktionen mit endlich vielen unstetigkeitsstellen und in diesen unstetigkeitsstellen müssen jeweils links- und rechtsseitiger grenzwert existieren (aber das ist definitionssache - schlage am besten mal dort nach, wo dies verwendet wird).
meines wissens stimmen bei funktionen $f: [a, b] [mm] \longrightarrow \mathbb{R}$ [/mm] und $f: [mm] \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}_+$, [/mm] die nur auf einer nullmenge unstetig sind (also insbesondere wenn die funktionen nur an endlich vielen stellen unstetig sind) riemann und lebesgue-integral überein (sofern man auch integral-werte [mm] $\infty$ [/mm] zulässt).
grüße
andreas
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