strakes Gesetz d. gr. Zahlen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Fr 30.07.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo Leute!
Ich habe eine Frage zum starken Gesetz der grossen Zahlen. Hier ist man ja an folgenden limes interessiert:
[mm] \limes_n P [ \bigcap_{k \ge n} \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \} ] = 1 [/mm] [mm] \forall \epsilon > 0[/mm]
Mit den üblichen Notationen: [mm] S_n = X_1 + \ldots + X_n [/mm], und $\ [mm] \mu [/mm] $ ist natürlich der Erwartungswert der i.i.d Verteilten $\ [mm] X_i$'s. [/mm] Nun leider ist mir nicht ganz klar, wieso die Ereignisse :
[mm] A_k = \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \} [/mm] eine absteigende Folge ist, also: [mm] A_1 \supseteq A_2 \supseteq \ldots [/mm].
Wenn sie das ist, dann darf ich ja meine erste Gleichung schreiben als:
[mm] P [\bigcup^{n} \bigcap_{k \ge n} \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \} ] = 1 [/mm] [mm] \forall \epsilon > 0[/mm].
Und somit hätte ich dann die fast sichere Konvergenz. Ich danke euch für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Fr 30.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo Leute!
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> Ich habe eine Frage zum starken Gesetz der grossen Zahlen.
> Hier ist man ja an folgenden limes interessiert:
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> [mm]\limes_n P [ \bigcap_{k \ge n} \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \} ] = 1[/mm]
> [mm]\forall \epsilon > 0[/mm]
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> Mit den üblichen Notationen: [mm]S_n = X_1 + \ldots + X_n [/mm],
> und [mm]\ \mu[/mm] ist natürlich der Erwartungswert der i.i.d
> Verteilten [mm]\ X_i[/mm]'s. Nun leider ist mir nicht ganz klar,
> wieso die Ereignisse :
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> [mm]A_k = \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \}[/mm] eine
> absteigende Folge ist, also: [mm]A_1 \supseteq A_2 \supseteq \ldots [/mm].
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> Wenn sie das ist, dann darf ich ja meine erste Gleichung
> schreiben als:
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> [mm]P [\bigcup^{n} \bigcap_{k \ge n} \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \} ] = 1[/mm]
> [mm]\forall \epsilon > 0[/mm].
> Und somit hätte ich dann die fast
> sichere Konvergenz. Ich danke euch für die Hilfe!
Hast Du das so in einem Beweis gefunden?
Wenn [mm] A_n [/mm] eine absteigende Folge von Ereignissen ist, gilt [mm] P(A_n)\to P(\cap A_n), [/mm] oder?
Und dass [mm] A_k [/mm] = [mm] \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \} [/mm] i.A. eine absteigende Folge sein soll, ist schwer einzusehen: Es müßte ja z.B. [mm] A_2\subseteq A_1 [/mm] gelten. Also aus [mm] 2\mu-2\epsilon\le X_1+X_2\le2\mu+2\epsilon, [/mm] müßte immer folgen [mm] \mu-\epsilon\le X_1\le\mu+\epsilon. [/mm] Wenn nun [mm] X_i:[0,1]\to[0,1] [/mm] über
[mm] X_1(\omega)=0.\omega_1\omega_3\omega_6\omega_{10}...
[/mm]
[mm] X_2(\omega)=0.\omega_2\omega_5\omega_9\omega_{14}...
[/mm]
[mm] X_3(\omega)=0.\omega_4\omega_8\omega_{13}\omega_{19}...
[/mm]
[mm] X_4(\omega)=0.\omega_7\omega_{12}\omega_{18}\omega_{25}...
[/mm]
...
mit Hilfe der Binär-Darstellung [mm] \omega=0.\omega_1\omega_{2}\omega_{3}\omega_{4}... [/mm] mit dem Lebesgue-Maß als W-Maß definiert sind, sind das auf [0,1] identisch, unabhängig und gleichmäßig stetig verteilte ZV mit [mm] \mu=1/2. [/mm] Wenn man nun ein [mm] \omega [/mm] wählt mit [mm] 0.\omega_2\omega_5\omega_9\omega_{14}...=0 [/mm] und [mm] 0.\omega_1\omega_3\omega_6\omega_{10}...=1, [/mm] hätte man [mm] 1-2\epsilon\le1 \le1+2\epsilon [/mm] und [mm] 1/2-\epsilon\le1\le1/2+\epsilon.
[/mm]
Oder sehe ich da was falsch?
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Fr 30.07.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo!
Bei uns hat der Prof folgendes geschrieben:
Wir wollen nun die stärkere Aussage beweisen:
[mm]\limes_n P [ \bigcap_{k \ge n} \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \} ] = 1[/mm]
Aufgrund der Stetigkeit des Masses P (hier wird auf den Satz verwiesen mit der absteigenden Folge) kann man das schreiben als:
[mm]P [\bigcup^{n} \bigcap_{k \ge n} \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \} ] = 1[/mm] [mm]\forall \epsilon > 0[/mm]
Und wenn man das $\ [mm] \epsilon [/mm] $ einbeziehen möchte:
[mm]P [\bigcap_{\epsilon >0} \bigcup^{n} \bigcap_{k \ge n} \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \} ] = P [\bruch{S_n}{n} \underrightarrow{n \to \infty} \mu ] = 1[/mm]
Und meine Frage betraf halt die erste Umformung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Fr 30.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo!
>
> Bei uns hat der Prof folgendes geschrieben:
>
> Wir wollen nun die stärkere Aussage beweisen:
> [mm]\limes_n P [ \bigcap_{k \ge n} \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \} ] = 1[/mm]
>
> Aufgrund der Stetigkeit des Masses P (hier wird auf den
> Satz verwiesen mit der absteigenden Folge) kann man das
> schreiben als:
>
> [mm]P [\bigcup^{n} \bigcap_{k \ge n} \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \} ] = 1[/mm]
> [mm]\forall \epsilon > 0[/mm]
>
> Und wenn man das [mm]\ \epsilon[/mm] einbeziehen möchte:
>
> [mm]P [\bigcap_{\epsilon >0} \bigcup^{n} \bigcap_{k \ge n} \{ | \bruch{S_k}{k}- \mu | \le \epsilon \} ] = P [\bruch{S_n}{n} \underrightarrow{n \to \infty} \mu ] = 1[/mm]
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> Und meine Frage betraf halt die erste Umformung.
>
Nicht [mm] A_k:=\left\{\left|\bruch{S_k}{k}-\mu\right|\le\epsilon\right\} [/mm] ist i.A. eine absteigende Folge von Ereignissen, sondern [mm] B_n:=\bigcap_{k \ge n}A_k [/mm] ist eine aufsteigende Folge von Ereignissen. Deswegen gilt
[mm] P(B_n)\to P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n\right)=P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k \ge n}A_k\right)=P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k \ge n}\left\{\left|\bruch{S_k}{k}-\mu\right|\le\epsilon\right\}\right).
[/mm]
LG
gfm
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Fr 30.07.2010 | | Autor: | physicus |
ja....klar! Ich Depp! Super, danke und entschuldige, dass ich es zuerst falsch geschrieben habe!
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