stetigkeit von funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 So 10.04.2005 | | Autor: | Swollocz |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich habe eine Aufgabe vor mir liegen, mit der ich nicht genug anzufangen weiß. Kann mir vielleicht jemand eine Anregung geben?
folgendes:
Untersuchen sie, für welche reelen Zahlen x die Funktionen
|x-[x]-1/2| und [x]+[1-x]
stetig, bzw. unstetig sind.
Also wenn man sie aufzeichnet, dann ist es ja offensichtlich, aber ich bin sehr am zweifeln, ob die graphische Lösung als mathematisch korrekt bezeichnet werden kann.
Hat vielleicht jemand eine Anregung zu einem mathematisch korrekteren Lösungsweg?
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 So 10.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Swollocz,
menschenskind macht ihr aber auch schwere Sachen in der Grundschule. Da würde ich auch Hilfe brauchen...
Dir auch ein herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo!
> Ich habe eine Aufgabe vor mir liegen, mit der ich nicht
> genug anzufangen weiß. Kann mir vielleicht jemand eine
> Anregung geben?
> folgendes:
>
> Untersuchen sie, für welche reelen Zahlen x die Funktionen
>
> |x-[x]-1/2| und [x]+[1-x]
>
> stetig, bzw. unstetig sind.
>
> Also wenn man sie aufzeichnet, dann ist es ja
> offensichtlich, aber ich bin sehr am zweifeln, ob die
> graphische Lösung als mathematisch korrekt bezeichnet
> werden kann.
> Hat vielleicht jemand eine Anregung zu einem mathematisch
> korrekteren Lösungsweg?
Ich gehe mal davon aus, dass du
[mm] $f(x)=\left| x- [x]+\frac{1}{2}\right|$ [/mm] bzw. $g(x)=[x]-[1-x]$ meinst und $[x]$ die Gaußklammer von $x$ ist.
Für alle Intervalle $(z; z+1), [mm] \quad z\in\IZ$, [/mm] ist $f$ stetig, da es eine Komposition aus stetigen Funktionen ist bzw. eine konstante Funktion ist, d.h. du musst nur noch für [mm] $x=z,\quad z\in\IZ$ [/mm] auf Stetigkeit überprüfen. Dann sollte den Rest entweder mit Folgendkriterium wiederlegen können oder mit Epsilontik nachweisen können.
Ich denke mal, dass für $g$ eine analoge Argumentation erfolgreich sein wird.
Gruß Max
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Hi, entschuldige für blöde frage aber:
Wie macht man das denn mit x=z machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
Die Funktion $f$ ist überall stetig. Insebsondere auch für [mm] $x=z\in\IZ$.
[/mm]
Sei [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine beliebige Nullfolge, dann definiere [mm] $x_n=z+a_n$:
[/mm]
Für [mm] $a_n>0$ [/mm] gilt: [mm] $\left|x_n-\left[x_n\right]+\frac{1}{2}\right| [/mm] = [mm] \left| z +a_n - z +\frac{1}{2}\right| [/mm] = [mm] \left|a_n+\frac{1}{2}\right|$
[/mm]
Für [mm] $a_n<0$ [/mm] gilt: [mm] $\left|x_n-\left[x_n \right]+\frac{1}{2}\right|=\left|z+a_n-(z-1)+\frac{1}{2}\right|=\left|a_n-1+\frac{1}{2}\right|=\left|a_n-\frac{1}{2}\right|$.
[/mm]
Für [mm] $n\to\infty$ [/mm] ergibt sich immer als Funktionswert [mm] $\frac{1}{2}$, [/mm] daher ist $f$ stetig.
Die Funktion $g$ ist nicht stetig für [mm] $x=z\in\IZ$. [/mm] Sei [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge mit [mm] $0
Wegen [mm] $\left[x^+_n\right]-\left[1-x^+_n\right]=z-(1-z-1)=2z$ [/mm] und [mm] $\left[x^-_n\right]-\left[1-x^-_n\right]=(z-1)-(1-z+1)=2z-2$ [/mm] folgt, dass nicht für alle Folgen [mm] $x_n$ [/mm] gilt, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}g(x_n)=g\left(\lim_{n\to\infty}x_n\right)$. [/mm] Daher ist $g$ nicht stetig bei allen [mm] $z\in\IZ$.
[/mm]
Gruß Max
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