stetigkeit und grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Mi 25.04.2018 | | Autor: | gopro |
| Aufgabe | a:
Es seien A ⊆ C konvex und f : A → C differenzierbar mit beschr¨ankter Ableitung, d.h. es gibt c > 0 mit |f'(x)|≤ c f¨ur alle x ∈ A. Zeigen Sie, dass f gleichm¨aßig stetig ist, d.h. ∀ε > 0 ∃δ > 0∀x,y ∈ A : (|x−y| < δ ⇒|f(x)−f(y)| < ε).
b:Es sei f : (a,b) →R differenzierbar mit beschr¨ankter Ableitung . Zeigen Sie, dass f¨ur jede Folge (xn)n∈N ∈ (a,b)N mit xn → a der Grenzwert lim n→∞ f(xn) existiert. Hinweis: Cauchy-Bedingung.
c:Es sei g : [a,b] →R in a und b differenzierbar. Zeigen Sie: g(a) = min{g(x) : x ∈ [a,b]}⇒ g'(a) ≥ 0, g(b) = min{g(x) : x ∈ [a,b]}⇒ g'(b) ≤ 0. |
hey
die aufgaben da oben sind echt voll theoretisch, verstehen tu ich sie nur hab ich kp wie ich die richtigen formulierungen finde
gp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:05 Mo 30.04.2018 | | Autor: | fred97 |
> a:
> Es seien A ⊆ C konvex und f : A → C differenzierbar
> mit beschr¨ankter Ableitung, d.h. es gibt c > 0 mit
> |f'(x)|≤ c f¨ur alle x ∈ A. Zeigen Sie, dass f
> gleichm¨aßig stetig ist, d.h. ∀ε > 0 ∃δ > 0∀x,y
> ∈ A : (|x−y| < δ ⇒|f(x)−f(y)| < ε).
Bevor ich mich mit dieser Aufgabe beschäftige: ist C= [mm] \IC [/mm] ? Darf A uch eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] sein ? Welcher Differenzierbarkeitsbegriff liegt zu Grunde ?
>
> b:Es sei f : (a,b) →R differenzierbar mit beschr¨ankter
> Ableitung . Zeigen Sie, dass f¨ur jede Folge (xn)n∈N ∈
> (a,b)N mit xn → a der Grenzwert lim n→∞ f(xn)
> existiert. Hinweis: Cauchy-Bedingung.
Es sei |f'(x)| [mm] \le [/mm] c für alle x [mm] \in [/mm] (a,b). Zeige:
[mm] $|f(x_n)-f(x_m)| \le c|x_n-x_m|$.
[/mm]
>
> c:Es sei g : [a,b] →R in a und b differenzierbar. Zeigen
> Sie: g(a) = min{g(x) : x ∈ [a,b]}⇒ g'(a) ≥ 0, g(b) =
> min{g(x) : x ∈ [a,b]}⇒ g'(b) ≤ 0.
Für x>a ist [mm] $\frac{g(x)-g(a}{x-a} \ge [/mm] 0$. Jetzt x [mm] \to [/mm] a.
>
> hey
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> die aufgaben da oben sind echt voll theoretisch, verstehen
> tu ich sie nur hab ich kp wie ich die richtigen
> formulierungen finde
>
> gp
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