stetigkeit IR²->IR < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Mi 22.05.2013 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f : [mm] \IR^2 [/mm] → [mm] \IR, [/mm] f(x, y) = xy [mm] (x^2−y^2)/(x^2+y^2) [/mm] für (x, y) [mm] \not= [/mm] (0, 0) und 0 für (x, y) = (0, 0).
zeige das f auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] stetig ist. |
Hallo liebe Gemeinde!
Also für [mm] x\not= [/mm] (0,0) ist die stetigkeit klar da Rationale Fkt ohne Nullstellen im Nenner stetig sin.
für x=(0,0) müsste ich zeigen das für alle Folgen in [mm] \IR^2 [/mm] mit [mm] (x^{(k)}) [/mm] -> (0,0) gilt [mm] f(x^{(k)})->0
[/mm]
dazu habe ich versucht |f(x,y)| abzuschätzen um dann mit dem sandwich-lemma zu arbeiten.. irgendwie komm ich da aber nicht weiter, hat jemand nen tipp?
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Hallo,
nutze am Besten immer die Vorschau-Funktion, deine Funktion wird falsch angezeigt. Du hast
$ f: [mm] \IR^2 \to \IR; [/mm] (x,y) [mm] \mapsto \begin{cases} (xy)*\dfrac{(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\ , (x,y) \not= 0 \\ 0 \ , (x,y) = 0 \end{cases} [/mm] $
Sei $ [mm] (x_n,y_n) \to [/mm] (0,0) $. Dann ist
$ [mm] |f(x_n,y_n)| [/mm] = | [mm] (x_ny_n)*\dfrac{(x_n^2-y_n^2)}{x_n^2+y_n^2} [/mm] | = [mm] |x_ny_n||\dfrac{(x_n^2-y_n^2)}{x_n^2+y_n^2}| \le |x_ny_n|\left(|\dfrac{x_n^2}{x_n^2+y_n^2}|+ |\dfrac{y_n^2}{x_n^2+y_n^2}|\right) \le 2|x_ny_n| \underbrace{\to}_{n \to \infty} [/mm] 0 $
Hilft dir das?
Viele Grüße,
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:00 Do 23.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Wegen [mm] |x^2-y^2| \le x^2+y^2 [/mm] ist
|f(x,y)| [mm] \le [/mm] |xy|
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:10 Do 23.05.2013 | | Autor: | elmanuel |
danke ChopSue & Fred...
war ja garnich so schwer :)
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