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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | Auf C[0,1], dem Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen ueber [0,1], betrachten wir neben der Maximumnorm [mm] ||.||_{\infty} [/mm] noch die sogenannte Integralnorm [mm] ||.||_{1}
[/mm]
[mm] ||x||_{1}:= \integral_{0}^{1}{|x(t)|dt}, (t\in[/mm] [mm]C[0,1])[/mm]
Bestaetigen Sie folgende Aussage:
Die identische Abbildung I: [mm] (C[0,1],||.||_{1})\to(C[0,1],||.||_{\infty}) [/mm] ist nicht stetig. |
Maximumnorm: [mm] ||x||_{\infty}:=max|x(t)|
[/mm]
zu zeigen:
[mm] ||x-y||_{1}<\delta \rightarrow ||x-y||_{\infty}<\epsilon
[/mm]
[mm] ||x-y||_{\infty}=max|x(t)-y(t)|<\epsilon [/mm] fuer [mm]a\le t\le b[/mm]
[mm] ||x-y||_{1}=\integral_{0}^{1}{|x(t)-y(t)|dt}<\delta
[/mm]
Nebenrechnung: [mm] |x(t)-y(t)|\le\epsilon \rightarrow \integral_{0}^{1}{\epsilon}[/mm] [mm]dt[/mm][mm] =\epsilon
[/mm]
[mm] \rightarrow \epsilon<\delta
[/mm]
ist das soweit erstmal richtig abgeschaetzt? damit habe ich doch eigentlich gezeigt, dass ich kein [mm] \delta [/mm] in abhaengigkeit von [mm] \epsilon [/mm] finden kann und damit ist meine abbildung nicht stetig. stimmt das??
hoffe, es findet jemand zeit, das mal kurz durchzuschaun.
danke schoen schon im vorraus :)
LG Jany
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | | zeigen Sie, maximum- und integralnorm sind nicht aequivalent. |
hi leute,
da bin ich nochmal :)
wir haben aequivalenz von normen, so definiert, dass wenn ich zwei normen auf einem vektorraum habe, z.b. C[0,1], dann sind sie genau dann aequivalent, wenn gilt:
[mm] \forall (x_{n}) \in [/mm] C[0,1] und x [mm] \in [/mm] C[0,1]
[mm] x_{n}\to [/mm] x (bzgl. der einen norm) [mm] \gdw x_{n}\to [/mm] x (bzgl. der anderen norm)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||x_{n}||_{\infty}= \limes_{n\rightarrow\infty}max|x_{n}|=max|x|=x
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||x_{n}||_{1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{|x_{n}| dt}=\integral_{0}^{1}{|x|dt}=\integral_{0}^{1}{x dt}=x*t [/mm] (in den grenzen 0 bis 1)=x
demzufolge wuerden doch aber meine normen aequivalent sein, oder? aber an sich soll ich ja das gegenteil zeigen. wo hab ich denn etwas falsch gemacht? waere super, wenn mir jemand helfen koennte.
LG Jany :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Sa 20.05.2006 | | Autor: | piet.t |
> zeigen Sie, maximum- und integralnorm sind nicht
> aequivalent.
> hi leute,
> da bin ich nochmal :)
Ich bins auch nochmal 
>
> wir haben aequivalenz von normen, so definiert, dass wenn
> ich zwei normen auf einem vektorraum habe, z.b. C[0,1],
> dann sind sie genau dann aequivalent, wenn gilt:
> [mm]\forall (x_{n}) \in[/mm] C[0,1] und x [mm]\in[/mm] C[0,1]
> [mm]x_{n}\to[/mm] x (bzgl. der einen norm) [mm]\gdw x_{n}\to[/mm] x (bzgl.
> der anderen norm)
Zwei Normen sind also äquivalent, wenn Konvergenz bezüglich beiden Normen das gleiche bedeutet.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||x_{n}||_{\infty}= \limes_{n\rightarrow\infty}max|x_{n}|=max|x|=x[/mm]
>
Hier untersuchst Du die Konvergenz der Norm, aber nicht die Konvergenz bezüglich der Norm!!!!
Was Du untersuchen musst ist eine Folge [mm] x_n, [/mm] so dass
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||x_{n} - x||_{\infty}= 0[/mm]
Wobei der Fehler aber denke ich noch nicht entscheidend wäre.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||x_{n}||_{1}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{|x_{n}| dt}=\integral_{0}^{1}{|x|dt}=\integral_{0}^{1}{x dt}=x*t[/mm]
> (in den grenzen 0 bis 1)=x
ACHTUNG! Hier ziehst Du im zweiten Schritt den Grenzwert in das Integral, das ist aber im allgemeinen nicht erlaubt. Hier wäre erforderlich, dass [mm] x_n [/mm] gleichmäßig gegen x konvergiert, aber das haben wir hier leider nicht.
>
> demzufolge wuerden doch aber meine normen aequivalent sein,
> oder? aber an sich soll ich ja das gegenteil zeigen. wo hab
> ich denn etwas falsch gemacht? waere super, wenn mir jemand
> helfen koennte.
>
> LG Jany :)
Auch hier würden wieder die vorgeschlagenen Funktionen aus meiner anderen Antwort helfen:
Die [mm] y_n [/mm] konvergieren bezüglich der Integralnorm gegen die Funktion y(t) = 0, nicht aber bezüglich der Maximumsnorm.
Gruß
piet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Sa 20.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Jany,
>
> zu zeigen:
> [mm]||x-y||_{1}<\delta \rightarrow ||x-y||_{\infty}<\epsilon[/mm]
Wenn Du gezeigt hast, dass es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 so ein [mm] \delta [/mm] gibt, dann wäre I ja stetig. D.h. eigentlich ist zu zeigen, dass es Funktionen x und y gibt, so dass zu wenigstens einem [mm] \epsilon [/mm] kein solches [mm] \delta [/mm] existiert.
>
> [mm]||x-y||_{\infty}=max|x(t)-y(t)|<\epsilon[/mm] fuer [mm]a\le t\le b[/mm]
>
> [mm]||x-y||_{1}=\integral_{0}^{1}{|x(t)-y(t)|dt}<\delta[/mm]
>
> Nebenrechnung: [mm]|x(t)-y(t)|\le\epsilon \rightarrow \integral_{0}^{1}{\epsilon}[/mm]
> [mm]dt[/mm][mm] =\epsilon[/mm]
Hier verwendest Du, dass [mm]|x(t)-y(t)|\le\epsilon[/mm]. Das wäre in einem Stetigkeitsbeweis aber gerade die Behauptung. Da wäre jetzt also die Beweisrichtung verkehrt herum.
>
> [mm]\rightarrow \epsilon<\delta[/mm]
>
> ist das soweit erstmal richtig abgeschaetzt? damit habe ich
> doch eigentlich gezeigt, dass ich kein [mm]\delta[/mm] in
> abhaengigkeit von [mm]\epsilon[/mm] finden kann und damit ist meine
> abbildung nicht stetig. stimmt das??
Warum findest Du kein [mm] \delta? [/mm] Für mich würde da jetzt stehen, dass jedes [mm] \delta [/mm] > [mm] \espilon [/mm] geeignet ist.....![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
> hoffe, es findet jemand zeit, das mal kurz durchzuschaun.
> danke schoen schon im vorraus :)
>
> LG Jany
>
Nochmal zum Vorgehen:
Um eine "Unstetigkeit" in der Abbildung zu finden müssen wir Funktionen suchen, die bezüglich der Integralnorm beliebig dicht zusammenrücken können, bezüglich der Maximumsnorm aber immer einen gewissen Mindestabstand aufweisen. Diese Bedingung muss (und kann) nicht für alle Funktionen gelten, es reicht wenn wir ein Beispiel finden.
Hier mal die Idee, wie ich das angehen würde: Verwende x(t) = 0 und überlege dir Funktionen [mm] y_n, [/mm] so dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ||y_n||_1 = 0[/mm], aber [mm]||y_n||_\infty[/mm] unabhängig von n immer einen festen positiven Wert hat. Damit hättest Du dann eine "Unstetigkeitsstelle" gefunden.
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Janyary |
hallo piet,
danke schoen, dass du dir dafuer zeit nimmst.
also mit bsp. finden tu ich mich immer sehr schwer, irgendwie bin ich dafuer nicht kreativ genug. koennte ich es nicht einfach indirekt beweisen?
also indem ich einfach annehme, dass die abbildung stetig ist, dann aber in meinem beweis darauf komme, dass es kein [mm] \delta [/mm] in abhaengigkeit von [mm] \epsilon [/mm] gibt. das waere ja aber ein widerspruch dazu, dass die abbildung stetig ist (denn dann gibt es ja ein [mm] \delta [/mm] in abhaengigkeit von [mm] \epsilon) [/mm] also muss die annahme falsch gewesen sein. und damit waere dann gezeigt, die abbildung ist unstetig.
funktioniert das nicht so??
LG Jany :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Sa 20.05.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
ja, im Prinzip klappt das schon so, darauf läuft meine Idee ja auch heraus. Das Problem ist nur, dass es für die meisten Funktionen eben schon zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein passendes [mm] \delta [/mm] gibt, man muss sich jetzt aber welche finden, wo es nicht funktioniert.
Meine Idee für die [mm] y_n [/mm] wäre dir folgende gewesen:
[mm] y_n(t) = \begin{cases}
1-nt & \mbox{für } 0 \le t \le \bruch{1}{n}\\
0 &\mbox{für } \bruch{1}{n} < t \le 1
\end{cases} [/mm]
...und jetzt untersuche mal [mm]||y_n(t) - 0||_1[/mm] und [mm]||y_n(t) - 0||_\infty[/mm] für [mm] n\to\infty.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Janyary |
hi piet,
also ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich deine funktion richtig verstanden habe... aber habs mal versucht..
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||y_{n}-0||_{1}= \limes_{n\rightarrow\infty}||y_{n}||_{1}= \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{|y_{n}(t)|dt}
[/mm]
jetzt hab ich erstmal integriert..
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|t-\bruch{n}{2}t^{2}|_{0}^{1}=\limes_{n\rightarrow\infty}|1-\bruch{n}{2}|=\infty
[/mm]
dann zur maximumsnorm:
[mm] ||y_{n}-0||_{\infty}=||y_{n}||_{\infty}=max|y_{n}(t)|=1
[/mm]
(da ein maximum ja nur fuer die erste bedingung, also [mm] y_{n}(t)=1-nt [/mm] fuer [mm] 0\le t\le \bruch{1}{n} [/mm] erreicht werden kann.)
hab ich das so richtig gemacht??
LG Jany :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Sa 20.05.2006 | | Autor: | piet.t |
> hi piet,
>
> also ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich deine funktion
> richtig verstanden habe... aber habs mal versucht..
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||y_{n}-0||_{1}= \limes_{n\rightarrow\infty}||y_{n}||_{1}= \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{1}{|y_{n}(t)|dt}[/mm]
>
> jetzt hab ich erstmal integriert..
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}|t-\bruch{n}{2}t^{2}|_{0}^{1}=\limes_{n\rightarrow\infty}|1-\bruch{n}{2}|=\infty[/mm]
Das passt nicht ganz, denn Du musst ja noch berücksichtigen, dass die Funktion abschnittsweise definiert ist. Der Teil für t>1/n liefert im Integral keinen Beitrag, so dass die obere Integrationsgrenze nicht mehr bei 1 sondern bei 1/n liegt.
>
> dann zur maximumsnorm:
>
> [mm]||y_{n}-0||_{\infty}=||y_{n}||_{\infty}=max|y_{n}(t)|=1[/mm]
>
> (da ein maximum ja nur fuer die erste bedingung, also
> [mm]y_{n}(t)=1-nt[/mm] fuer [mm]0\le t\le \bruch{1}{n}[/mm] erreicht werden
> kann.)
Das passt!
>
> hab ich das so richtig gemacht??
>
> LG Jany :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Sa 20.05.2006 | | Autor: | Janyary |
ah, ok danke :)
jetzt hab ich die funktion auch verstanden. aber da waer ich nie drauf gekommen. fuerchte dafuer braucht man entweder sehr viel erfahrung oder ne gute idee im richtigen moment. leider hab ich momentan von keinem sonderlich viel. aber das kann ja noch werden *g*
vielen dank fuer deine hilfe und schoenes wochenende :)
LG Jany
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