stetige lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgendes Problem:
In einem Buch habe ich gelesen, dass jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen stetig sei.
Dazu habe ich 2 Fragen
1) Wie kann man Stetigkeit auf Vektorräumen definieren bzw. wie definiert man das in der Regel?
Meine Vermutung war:
In jedem endlichdimensionalen VR lässt sich ein skalarprodukt definieren. z.B. das "Standardskalarprodukt". Diese induziert eine topologie auf dem VR. Ist die stetigkeit bezüglich dieser Topologie gemeint?
2)Für mich stellt sich dennoch die Frage, warum alle linearen Abbildungen stetig sind?
Das wars ersteinmal.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Do 02.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Du hättest genauer lesen müssen !
Ich vermute, Du hast folgendes gelesen:
Sind X und Y normierte Räume , [mm] \phi:X \to [/mm] Y linear , dim(X) < [mm] \infty [/mm] und dim(Y)< [mm] \infty, [/mm] so ist [mm] \phi [/mm] stetig.
Einen Beweis dafür findest Du in jedem Buch zur Funktionalanalysis.
FRED
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Hallo fred97,
vielen Dank erstmal für deine Hilfe. Aber ich möchte hier schon 2 Sachen klarstellen:
1) Ich habe sehr genau gelesen! Ich möchte zitieren:
"If E and F are vector spaces over the same field(...)if E and F have finite dimension every linear map is continuous" (Zitat M.Berger/ B.Gostiaux, Differential Geometry: Manifolds, Curves, and Surfaces, S.2, 0.0.4).
Demnach behaupten diese Autoren meine anfangs gestelle Frage.
2) Leider habe ich keine großen kenntnisse über Funktionalanalysis.
Ich habe in 3 Büchern über Funktionalanalysis nachgesehen und deine Aussage nicht gefunden.
Aber die Autoren beweisen alle, dass eine abbildung stetige ist gdw. sie "beschränkt" ist. Hat es evtl damit zu tun? ist jede stetige abbildung zwischen endlich dim. norm. räumen beschränkt?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Fr 03.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
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> vielen Dank erstmal für deine Hilfe. Aber ich möchte hier
> schon 2 Sachen klarstellen:
> 1) Ich habe sehr genau gelesen! Ich möchte zitieren:
> "If E and F are vector spaces over the same field(...)if E
> and F have finite dimension every linear map is continuous"
> (Zitat M.Berger/ B.Gostiaux, Differential Geometry:
> Manifolds, Curves, and Surfaces, S.2, 0.0.4).
Wenn da nicht mehr über E und F vorausgesetzt ist, so ist obiges völliger Unsinn !
Ohne Topologien auf E bzw. F kann man von stetigkeit nicht reden !! Punktum.
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> Demnach behaupten diese Autoren meine anfangs gestelle
> Frage.
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> 2) Leider habe ich keine großen kenntnisse über
> Funktionalanalysis.
> Ich habe in 3 Büchern über Funktionalanalysis
> nachgesehen und deine Aussage nicht gefunden.
> Aber die Autoren beweisen alle, dass eine abbildung
> stetige ist gdw. sie "beschränkt" ist. Hat es evtl damit
> zu tun?
Sind (E, [mm] $||*||_E$) [/mm] und (F , [mm] $||*||_F$)normierte [/mm] Räume und f:F [mm] \to [/mm] F linear, so heißt f beschränkt, wenn es ein c>0 gibt mit:
[mm] $||f(x)||_F \le c*||x||_E$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] E
Dann gilt: f ist stetig [mm] \gdw [/mm] f ist beschränkt.
> ist jede stetige abbildung zwischen endlich dim.
> norm. räumen beschränkt?
Ja
FRED
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> Grüße
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