stetige Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo nochmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
jetzt hab ich bei einem Beispiel ein weiters problem:
Man zeige, dass
[mm] $f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ {(x+1) \over (\lambda(\lambda +1))}* e^{-x \over \lambda } , & \mbox{für }x > 0 \end{cases}$
[/mm]
für $ [mm] \lambda [/mm] > 0$ eine Dichte definiert.
Man bestimme die zugehörige Verteilungsfunktion, den Erwartungswert
und die varianz.
ok zuerst zur ersten Frage ? wie zeigt man denn das die Dichte erfüllt ist ?
die Funktion muss stetig sein
für $ [mm] \lambda [/mm] =0$ ist die Funktion laut definition 0
für $ [mm] \lambda [/mm] >0$ ist sie stetig und was muss man noch zeigen ?
zur Verteilungsfunktion sollte die Lösung:
[mm] $F(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ {-(x+\lambda+1) \over (\lambda(\lambda +1))}* e^{-x \over \lambda } , & \mbox{für }x > 0 \end{cases}$
[/mm]
sein. Also einfach f(x) integrieren
für den Erwartungswert gilt: $E(X)= [mm] \integral_{D}^{} [/mm] {x+f(x) dx}$
also wie oben integrieren ...
und für
Varianz gilt: [mm] $V(X)=\integral_{D}^{} {(x-E(x))^{2}*f(x) dx}$
[/mm]
ok den Erwartungswert das geht ja noch aber
bei der Varianz wird dann die "funktion" E(X) in das intergral noch
dazu eingesetzt das Intergral dann doch sehr mühselig 
gibt es da nicht einen einfacheren Weg ?? ich fürchte nicht .... ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
einen Trick wie man die meist lösen kann ?
hier siehts so nach partieller Integration aus
mfg martin
|
|
| |
|
Hallo Martin!
> Man zeige, dass
> [mm]f(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ {(x+1) \over (\lambda(\lambda +1))}* e^{-x \over \lambda } , & \mbox{für }x > 0 \end{cases}[/mm]
>
> für [mm]\lambda > 0[/mm] eine Dichte definiert.
Du meinst (wie immer) wohl $f(x)$ statt $f(n)$.
> ok zuerst zur ersten Frage ? wie zeigt man denn das die
> Dichte erfüllt ist ?
> die Funktion muss stetig sein
Wieso? Bei der Rechteckverteilung ist die Dichte auch nicht stetig.
Und hier ist bei $x=0$ doch auch eine Unstetigkeitsstelle, oder?
> für [mm]\lambda =0[/mm] ist die Funktion laut definition 0
> für [mm]\lambda >0[/mm] ist sie stetig und
Für [mm] $\lambda=0$ [/mm] ist übrigens gar nichts definiert.
> was muss man noch zeigen ?
Sie sollte stets nichtnegativ sein und das Integral über [mm] $\IR$ [/mm] sollte 1 ergeben.
> zur Verteilungsfunktion sollte die Lösung:
> [mm]F(n)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ {-(x+\lambda+1) \over (\lambda(\lambda +1))}* e^{-x \over \lambda } , & \mbox{für }x > 0 \end{cases}[/mm]
>
> sein. Also einfach f(x) integrieren
Hm. Magst Du dazu vielleicht noch eine Rechnung angeben? Das kann nicht stimmen, da für $x>0$ Deine Verteilungsfunktion negativ wird. Ich habe (mit partieller Integration) Folgendes raus:
[mm]F(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ 1- {x+\lambda+1 \over \lambda +1}* e^{-x \over \lambda } , & \mbox{für }x > 0 \end{cases}[/mm]
> für den Erwartungswert gilt: [mm]E(X)= \integral_{D}^{} {x+f(x) dx}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
für den Erwartungswert gilt: [mm]E(X)= \integral_{\IR}^{} {x\cdot f(x) dx}[/mm]
> also wie oben integrieren ...
> und für
> Varianz gilt: [mm]V(X)=\integral_{D}^{} {(x-E(x))^{2}*f(x) dx}[/mm]
>
> ok den Erwartungswert das geht ja noch aber
> bei der Varianz wird dann die "funktion" E(X) in das
> intergral noch
$E(X)$ ist doch keine Funktion von $x$, sondern eine reelle Zahl (das Integral, das Du vorher ausgerechnet hast). Manchmal ist es hilfreich
[mm]E(X^2)= \integral_{\IR}^{} {x^2\cdot f(x) dx}[/mm]
zu berechnen, um anschließend [mm] $Var(X)=E(X^2)-E(X)^2$ [/mm] zu bestimmen.
> hier siehts so nach partieller Integration aus
Ja, aber schon bei der Bestimmung der Verteilungsfunktion
Gruß
Brigitte
|
|
|
| |
|
hallo
hatte gerade keinen zeit ...
ok ich hab das so gemacht:
$ [mm] \integral [/mm] {(x+1) [mm] \over \lambda(\lambda +1)}\cdot{} e^{-x \over \lambda } [/mm] dx$
$ {1 [mm] \over \lambda(\lambda [/mm] +1)} * [mm] \integral {(x+1)*e^{-x \over \lambda }} [/mm] dx$
dann muss man partiell integrieren:
$ g = x+1; g'=1; f'= [mm] e^{-x \over \lambda}; f=\lambda*e^{-x \over \lambda}$
[/mm]
einsetzten in:
[mm] $\integral [/mm] {f'*g}=f*g - [mm] \integral [/mm] {f * g' dx }$
${ 1 [mm] \over \lambda [/mm] * ( [mm] \lambda+1)} [/mm] * ( [mm] -\lambda [/mm] * [mm] e^{ -x \over \lamda} [/mm] * (x+1) + [mm] \lambda [/mm] * [mm] \integral e^{ - x \over \lambda}*1 [/mm] dx$
nochmal integrieren...
${ 1 [mm] \over \lambda*(\lambda+1)}*( -\lambda [/mm] * [mm] e^{ - x \over \lambda}*(x+1) [/mm] - [mm] \lambda^2*e^{-x \over \lambda})$
[/mm]
ok seh gerade hab mich vorhin verschrieben
denoch kommt bei mir
$= [mm] {-(\lambda+x+1)\over (\lambda+1) }* e^{-x \over \lambda }$
[/mm]
raus
für Erwartungswert:
$ [mm] \integral [/mm] {x*(x+1) [mm] \over \lambda(\lambda +1)}\cdot{} e^{-x \over \lambda } [/mm] dx$
da rechne ich noch ...
allerdings ist bei mir oben die funktion immer noch negativ ...
vorzeichenfehler kann ich aber nicht finden ...
mfg martin
|
|
|
| |
|
Hallo Martin!
> ok ich hab das so gemacht:
> [mm]\integral {(x+1) \over \lambda(\lambda +1)}\cdot{} e^{-x \over \lambda } dx[/mm]
Aber beachte bitte, dass das Integral von [mm] $-\infty$ [/mm] bis $x$ gebildet wird (dann am besten über $f(t)$).
> [mm]{1 \over \lambda(\lambda +1)} * \integral {(x+1)*e^{-x \over \lambda }} dx[/mm]
>
> dann muss man partiell integrieren:
> [mm]g = x+1; g'=1; f'= e^{-x \over \lambda}; f=\lambda*e^{-x \over \lambda}[/mm]
[mm]f=- \lambda*e^{-x \over \lambda}[/mm]
Aber das scheint nur ein Tippfehler zu sein.
> einsetzten in:
> [mm]\integral {f'*g}=f*g - \integral {f * g' dx }[/mm]
> [mm]{ 1 \over \lambda * ( \lambda+1)} * ( -\lambda * e^{ -x \over \lamda} * (x+1) + \lambda * \integral e^{ - x \over \lambda}*1 dx[/mm]
>
> nochmal integrieren...
> [mm]{ 1 \over \lambda*(\lambda+1)}*( -\lambda * e^{ - x \over \lambda}*(x+1) - \lambda^2*e^{-x \over \lambda})[/mm]
>
> ok seh gerade hab mich vorhin verschrieben
> denoch kommt bei mir
> [mm]= {-(\lambda+x+1)\over (\lambda+1) }* e^{-x \over \lambda }[/mm]
>
> raus
>
> für Erwartungswert:
> [mm]\integral {x*(x+1) \over \lambda(\lambda +1)}\cdot{} e^{-x \over \lambda } dx[/mm]
>
> da rechne ich noch ...
>
Liebe Grüße
Brigitte
|
|
|
| |
|
hallo
> Aber beachte bitte, dass das Integral von [mm]-\infty[/mm] bis [mm]x[/mm]
> gebildet wird (dann am besten über [mm]f(t)[/mm]).
Ja das weiß ich aber es ändert sich ja nichts da ja gilt $f(x)=0 $ für $ x [mm] \le [/mm] 0 $
und integral von 0 = 0 ...
oder lieg ich da falsch ?
mfg martin
|
|
|
| |
|
hallo
Also mein fehler war wieder mal zuviel auf einmal im kopf zu rechnen ...
den laut definition gilt für 0 für $x [mm] \le [/mm] 0 $ das gilt auch für den berich [mm] $-\infty$
[/mm]
und somit ist $ [mm] e^{0 \over \lambda} [/mm] =1$ und der "Teil" fällt nicht einfach so weg ...
stimmts ... komm jetzt auf dein Ergebnis noch dazu um die Zeit
mfg Martin
|
|
|
| |
|
Hallo Martin!
> Also mein fehler war wieder mal zuviel auf einmal im kopf
> zu rechnen ...
>
> den laut definition gilt für 0 für [mm]x \le 0[/mm] das gilt auch
> für den berich [mm]-\infty[/mm]
> und somit ist [mm]e^{0 \over \lambda} =1[/mm] und der "Teil" fällt
> nicht einfach so weg ...
Das ist zwar nun nur ein kleiner Ausschnitt aus der Rechnung, aber ich bin ziemlich sicher, dass Du den Knackpunkt meinst 
> stimmts ... komm jetzt auf dein Ergebnis noch dazu um die
> Zeit
Na prima!
Viele Grüße
Brigitte
|
|
|
|
