stetige Geraden < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R} [/mm] definiert durch:
[mm] f(x,y):=\begin{cases}
\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}} & f\mbox{ü}r\,\,(x,y)\neq(0,0)\\
0 & f\mbox{ü}r\,\,(x,y)=(0,0)\end{cases}
[/mm]
Zeige:
(1) für jedes feste [mm] y\in\mathbb{R} [/mm] ist die Funktion [mm] x\mapsto [/mm] f(x,y) stetig und für jedes feste [mm] x\in\mathbb{R}ist [/mm] die Funktion [mm] y\mapsto [/mm] f(x,y) stetig.
(2) f ist nicht stetig in (0,0). |
Hallo,
Zu (1) habe ich mir folgendes überlegt:
Ich betrachte mal [mm] x\mapsto [/mm] f(x,y). Sei dann y fest und [mm] x_{n} [/mm] beliebige reelle Folge mit [mm] x_{n}\rightarrow [/mm] x. Dann muss ich zeigen:
[mm] f(x_{n},y)\rightarrow [/mm] f(x,y) oder? Ist dieser Ansatz soweit richtig? Wenn ja, wie mache ich dann weiter damit?
Zu (2) habe ich keine Ahnung ehrlich gesagt.
|
|
| |
|
Hallo T_Sleeper,
> Sei [mm]f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}[/mm] definiert durch:
>
> [mm]f(x,y):=\begin{cases}
\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}} & f\mbox{ü}r\,\,(x,y)\neq(0,0)\\
0 & f\mbox{ü}r\,\,(x,y)=(0,0)\end{cases}[/mm]
>
> Zeige:
>
> (1) für jedes feste [mm]y\in\mathbb{R}[/mm] ist die Funktion
> [mm]x\mapsto[/mm] f(x,y) stetig und für jedes feste
> [mm]x\in\mathbb{R}ist[/mm] die Funktion [mm]y\mapsto[/mm] f(x,y) stetig.
>
> (2) f ist nicht stetig in (0,0).
>
> Hallo,
>
> Zu (1) habe ich mir folgendes überlegt:
>
> Ich betrachte mal [mm]x\mapsto[/mm] f(x,y). Sei dann y fest und
> [mm]x_{n}[/mm] beliebige reelle Folge mit [mm]x_{n}\rightarrow[/mm] x. Dann
> muss ich zeigen:
>
> [mm]f(x_{n},y)\rightarrow[/mm] f(x,y) oder? Ist dieser Ansatz soweit
> richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wenn ja, wie mache ich dann weiter damit?
Das folgt direkt aus den Rechenregeln für konvergente Folgen in [mm] $\IR$
[/mm]
[mm] $f(x_n,y)=\frac{2x_ny}{x_n^2+y^2}\longrightarrow \frac{2xy}{x^2+y^2}=f(x,y)$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
>
> Zu (2) habe ich keine Ahnung ehrlich gesagt.
Tipp:
Polarkoordinaten: [mm] $x=r\cdot{}\cos(\varphi)$ [/mm] und [mm] $y=r\cdot{}\sin(\varphi)$ [/mm] und dann [mm] $r\downarrow [/mm] 0$ anschauen ...
Alternativ suche zwei Nullfolgen, die dir die Stetigkeit in $(0,0)$ kaputt machen ...
LG
schachuzipus
|
|
|
|
