stetige Funktion f=g f=-g < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien f,g :[a,b] --> R (a,b [mm] \in [/mm] R) stetige Funktionen mit If(x)I = Ig(x)I [mm] \not= [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]. Zeigen Sie, dass f= g oder f= -g gilt. |
Hey, ich bin gerade mit der Klausurvorbereitung beschäftigt, und komme hier nicht mehr weiter. Hat jemand eine Idee? Danke schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 So 25.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Fehlt da nicht noch etwas? Und was meinst du mit IfI?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 So 25.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo M.Rex!
Ich interpretriere das als Betragsstriche: $|f(x)| \ = \ |g(x)|$ .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 So 25.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo M.Rex!
Hallo auch
>
>
> Ich interpretriere das als Betragsstriche: [mm]|f(x)| \ = \ |g(x)|[/mm]
> .
Das macht Sinn. Aber dennoch fehlt dann noch eine Angabe.
Denn so: [mm] f(x)=x^{2}-1 [/mm] auf ]-1;1[ und [mm] g(x)=x^{4}-1 [/mm] auf ]-1;1[ erfüllen die Bedingungen, es gilt aber nicht [mm] f=\pm{g}
[/mm]
>
>
> Gruß
> Loddar
>
Marius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 So 25.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo nochmal.
Sorry, ich habe gerade gesehen, dass |f|=|g| sein soll.
Das reicht als Info.
Ich würde das per Kontraposition beweisen.
Also wird aus der zu zeigenden Behauptung : Aus f;g stetig und [mm] |f|=|g|\ne0 [/mm] folgt f=g oder f=-g
die Kontrapositionsbehauptung.
Wenn f [mm] \ne [/mm] g und f [mm] \ne [/mm] -g, dann gilt [mm] |f|\ne|g| [/mm]
Und das zu zeigen, sollte kein Problem sein.
Marius
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Erstmal lieben Dank.Das ganze macht für mich schon Sinn. Nur ist es nicht logisch, dass wenn f ungleich -g und f ungleic g automatisch folgt dass Betrag von f auch automatisch ungleich Betrag von g ist? Mir erscheint das immer so logisch, is weiß haltz nie, was ich da mathematisch noch beweisen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Mo 26.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> Nur ist es nicht logisch, dass wenn f ungleich -g und f
> ungleic g automatisch folgt dass Betrag von f auch
> automatisch ungleich Betrag von g ist?
Automatisch? Nein, gar nicht - viele Vorraussetzungen muss man betrachten: dass f und gstetig sind und dass sie beide keine Nullstellen haben ist ganz wichtig - ohne dies stimmt's hinten und vorne nicht. Ach ja: und wenn das Funktionen in der komplexen Zahlenebene wären, stimtme es auch nicht. Betrachte [m]\bruch{f}{g}[/m] - dann folgerst du mit dem ZWS, dass es entweder 1 oder -1 ist. Probier es mal!
> Mir erscheint das
> immer so logisch, is weiß haltz nie, was ich da
> mathematisch noch beweisen soll...
Wieso ist es denn logisch? Das wäre der erste Schritt. Und versuche Gegenbeispiele zu nennen, wenn die Vorraussetzungen nicht erfüllt sind.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Mo 26.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Nur ist es nicht logisch, dass wenn f ungleich -g und f
> > ungleic g automatisch folgt dass Betrag von f auch
> > automatisch ungleich Betrag von g ist?
>
> Automatisch? Nein, gar nicht - viele Vorraussetzungen muss
> man betrachten: dass f und gstetig sind und dass sie beide
> keine Nullstellen haben ist ganz wichtig - ohne dies
> stimmt's hinten und vorne nicht.
@ MissPocahontas:
Nur mal demonstriert, weshalb es ohne diese Vorraussetzungen gar nicht stimmen kann:
1. Betrache [mm] $\,f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR [/mm] definiert durch
[mm] $$f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \in \IR \setminus\{0,\;1\}, \\ 1, & \mbox{für } x=0,\\2, & \text{für }x=1. \end{cases}.$$
[/mm]
Definierst Du [mm] $\,g\,$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] mit
[mm] $$g(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x \in \IR \setminus\{1\}, \\-2, & \text{für }x=1. \end{cases}$$
[/mm]
so gilt $|f|=|g|$, obwohl weder $f=g$ noch $f=-g$ gilt.
Problem: [mm] $\,f\,$ [/mm] ist nicht stetig!
(Anstatt [mm] $\,f\,$ [/mm] und [mm] $\,g\,$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] zu betrachten, kannst Du auch [mm] $\,f\,$ [/mm] und [mm] $\,g\,$ [/mm] auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ mit [mm] $\{0,\;1\} \subset [/mm] [a,b]$ betrachten, also z.B. quasi [mm] $\tilde{f}:=f_{|[-3,4]}\,.$ [/mm] Analog [mm] $\tilde{g}:=g_{|[-3,4]}$.)
[/mm]
2. Betrachte $f(x):=x$ auf $[-1,1]$ und $g(x):=|x|$ auf [mm] $[-1,1]\,.$ [/mm] Auch hier gilt [mm] $|f|=|g|\,,$ [/mm] obwohl weder $f=g$ noch $f=-g$ gilt.
P.S.:
Man kann sich die Frage stellen, woran es bei beliebigen Funktionen $h,j: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] scheitert, dass man nicht sofort aus $|h|=|j|$ erkennt, dass entweder $h=j$ oder $h=-j$ folgt. Das liegt daran, dass man eigentlich nur weiß:
$$|h|=|j| [mm] \Rightarrow |h(x)|=|j(x)|\;\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b]$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] h(x)=j(x) [mm] \text{ oder } h(x)=-j(x)\;\forall [/mm] x [mm] \in [a,b]\,.$$
[/mm]
Daraus kann man aber nicht schließen, dass dann
[mm] $$(\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b]: h(x)=j(x)) [mm] \text{ oder } (\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b]: h(x)=-j(x))$$
gelten würde.
Gruß,
Marcel
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Also das heißt ich betrachte die funktion f/g oder meintest du f/g -1? Ja, auf jeden Fall sehe ich mir das dann an und dann macht man das beim Zwischenwertsatz ja normalerweise so, dass man sich den linken und den rechten Randpunkt ansieht, und dann kriege ich halt raus, dass f/g gleich -1 oder 1 ist und das bei beiden randpunkten. mein problem is nun wie ich das mit dem zwischenwertsatz machen soll, weil ich hab ja immer die werte -1 oder 1 oder nicht? und nie das problem, dass es irgendwie dazwischen liegt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Fr 30.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also das heißt ich betrachte die funktion f/g oder meintest
> du f/g -1?
weil $g(x) [mm] \not=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ kannst Du ja $f/g$ bilden [mm] ($(f/g)(x)\,:=\,f(x)/g(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$). Und Du sollst nun zeigen, dass die Funktion $f/g$ entweder [mm] $1\,$ [/mm] oder [mm] $\,-1$ [/mm] ist (d.h. [mm] $f(x)/g(x)\,=1\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$, oder [mm] $f(x)/g(x)=\,-1$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$).
> Ja, auf jeden Fall sehe ich mir das dann an und
> dann macht man das beim Zwischenwertsatz ja normalerweise
> so, dass man sich den linken und den rechten Randpunkt
> ansieht, und dann kriege ich halt raus, dass f/g gleich -1
> oder 1 ist und das bei beiden randpunkten. mein problem is
> nun wie ich das mit dem zwischenwertsatz machen soll, weil
> ich hab ja immer die werte -1 oder 1 oder nicht? und nie
> das problem, dass es irgendwie dazwischen liegt?
Mach' es mit einem Widerspruchsbeweis:
Es ist klar, dass [mm] $|f(x)/g(x)|\,=1$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ aufgrund der Voraussetzung (und wegen $|r/s|=|r|/|s|$ ($s [mm] \not=0$)). [/mm] Jetzt betrachtest Du die Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] h(x):=(f/g)(x)=f(x)/g(x)$ (für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$). Diese ist stetig. (Warum?)
Weiter gilt wegen [mm] $|f(x)/g(x)|\,=\,1$ [/mm] für alle $x [mm] \in [a,b]\,,$ [/mm] dass
$$h(x)=1 [mm] \text{ oder }h(x)=-1 \text{ für alle }x\in [a,b]\,.$$
[/mm]
[mm] $\text{(}$Unterscheide [/mm] die letzte Aussage sorgfältig von dem, was zu zeigen ist:
Zu zeigen ist
$$(h(x)=1 [mm] \text{ für alle }x \in [/mm] [a,b]) [mm] \text{ oder }(h(x)=-1 \text{ für alle }x \in [a,b])\,.)$$
[/mm]
Jetzt nimm' an, es gebe [mm] $x_1 [/mm] < [mm] x_2$, $x_1, \;x_2 \in [a,b]\,,$ [/mm] so dass [mm] $h(x_1)=-h(x_2)\,.$ [/mm] Was folgte dann für [mm] $h_{|[x_1,x_2]}$? [/mm] Welche Konsequenz hätte das für [mm] $\,f_{|[x_1,x_2]}\,$? [/mm] Kann das nach den für [mm] $\,f\,$ [/mm] aufgeführten Voraussetzungen sein?
(P.S.: [mm] $f_{|[x_1,x_2]}$ [/mm] meint hier nichts anderes als die Einschränkung von [mm] $\,f\,$ [/mm] auf [mm] $[x_1,x_2]$; [/mm] für [mm] $\,h\,$ [/mm] analog...)
Gruß,
Marcel
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Danke für deine Geduld ^^...  Also dann würde ja für h(x) folgen dass f(x1)/g(x1) = - f(x2)/g(x2) ist. richtig?dass würde ja für f heißten, dass f(x2) = -f(x1) ist, stimmt das so? Boah, mit dieser Aufgabe hab ichs eindeutig nicht ^^ Ich hab jetzt aber verstanden, was der Unterschied zwischen Vorrausetzung ist und dem, was ich auf Betrag f(x) gleich betrag g(x) ablesen kann, das hab ich anfangs gar nicht gesehen... danke...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Geduld ^^... Also dann würde ja für
> h(x) folgen dass f(x1)/g(x1) = - f(x2)/g(x2) ist.
> richtig?dass würde ja für f heißten, dass f(x2) = -f(x1)
> ist, stimmt das so? Boah, mit dieser Aufgabe hab ichs
> eindeutig nicht ^^ Ich hab jetzt aber verstanden, was der
> Unterschied zwischen Vorrausetzung ist und dem, was ich auf
> Betrag f(x) gleich betrag g(x) ablesen kann, das hab ich
> anfangs gar nicht gesehen... danke...
ähm, Du denkst irgendwie wieder rückwärts. Bleibe mal bei der Funktion [mm] $\,h\,$. $\,h\,$ [/mm] ist stetig auf [mm] $[a,b]\,,$ [/mm] insbesondere stetig auf [mm] $[x_1,x_2] \subset [/mm] [a,b]$ (kurzgesagt: [mm] $h_{|[x_1,x_2]}$ [/mm] ist stetig).
Ferner gilt [mm] $h(x_1)=-h(x_2)\,.$ [/mm] Demnach muss [mm] $\,h\,,$ [/mm] wegen des Zwischenwertsatzes, eine Nullstelle [mm] $x_0 \in [x_1,x_2] \subset [/mm] [a,b]$ haben, d.h. es existiert ein [mm] $x_0 \in [x_1,x_2]$ [/mm] mit [mm] $h(x_0)\,=\,0\,.$
[/mm]
(Wegen [mm] $|h(x_1)|\,=\,|h(x_2)|=1$ [/mm] weiß man auch, dass dieses [mm] $x_0$ [/mm] eigentlich sogar [mm] $x_0 \in (x_1,x_2)$ ($(x_1,x_2)=\{r \in \IR: x_1 < r < x_2\}$) [/mm] erfüllen würde.)
Was folgt dann aber für [mm] $\,f(x_0)\,$ [/mm] (beachte: [mm] $h(x_0)=\frac{f(x_0)}{g(x_0)}$)? [/mm] Was wäre dann aber [mm] $\,|f(x_0)|$? [/mm]
Kann das sein?
(Wobei nochmal daran erinert sei, dass [mm] $x_0 \in [x_1,x_2] \subset [a,b]\,,$ [/mm] insbesondere gilt also [mm] $x_0 \in [a,b]\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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ah verdammt jetzt hab ichs ^^... dann müsste f(xo) = 0 sein, und der betrag von f(xo) ebenfall 0 werden, das darf aber nicht vorkommen und daher ist es ein widerspruch zur voraussetzung. richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Sa 31.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ah verdammt jetzt hab ichs ^^... dann müsste f(xo) = 0
> sein, und der betrag von f(xo) ebenfall 0 werden, das darf
> aber nicht vorkommen und daher ist es ein widerspruch zur
> voraussetzung. richtig?
genau so ist es richtig (Du solltest halt auch beachten, dass [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ war, aber $|f(x)| [mm] \not=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ nach Voraussetzung war; das widerspricht sich).
Manchmal sieht man halt den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr, ich nehme an, dass Dir das hier passiert ist, stimmt's?
Gruß,
Marcel
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Ja manchmal, macht man halt au ständig Mathe, so dass man total auf dem Schlauch steht ^^ ich danke dir aber nochmal...
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