stetige Differenzierbarkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 So 10.10.2004 | | Autor: | brisko |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
fällt vielleicht einem ein Beispiel für eine Fkt ein, die abgeleitet NICHT mehr stetig ist?
Könnte mir nur vorstellen, dass die Fkt einen "Knick" hat und somit die Ableitung (Steigung) nicht mehr stetig ist - aber in diesem Fall wäre ja die Fkt gar nicht diffbar...
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Hallo Brisko !!!
Ich könnte dir ein Beispiel nennen für eine Funktion, die überall stetig ist, aber nirgends differenzierbar:
[mm] $f(x)=\summe_{n=0}^{\infty}a^n [/mm] cos [mm] (\pi b^n [/mm] x)$
(mit geeigneten Werten für $a$ und $b$ ).
Diese Funktion stammt von Karl Weierstraß aus dem Jahre 1872, womit er den Unterschied zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit herausarbeiten wollte.
Quelle: Spektrum der Wissenschaft-Spezial "Das Unendliche"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 So 10.10.2004 | | Autor: | brisko |
...die Frage ist nur: ist die Ableitung dieser Fkt dann auch wieder stetig???
Denn es ging ja um STETIGE Diffbarkeit...
Und mir fällt wie schon gesagt keine ein, die abgeleitet nicht mehr stetig ist... ;-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 So 10.10.2004 | | Autor: | Carolin |
Hallo,
am besten guckst du dir stückweise definierte Funktionen an.
Ich bin mir nicht sicher, ob mein Beispiel stimmt, aber betrachte mal:
[mm] f(x) = \bruch{1}{2} x^2, x \ge 0 [/mm] und
[mm] f(x) = -\bruch{1}{2} x^2, x<0.
[/mm]
Diese ist stetig, auch differenzierbar in 0, aber die Ableitung (Betrag x) ist nicht differenzierbar.
Stimmts??
Carolin
Ich hab keine Ahnung, warum das hier als Frage steht... ich hab ganz sicher auf Mitteilung geklickt :-9
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 So 10.10.2004 | | Autor: | Carolin |
Ups,
hab nicht gesehen, dass es um STETIGKEIT der Ableitung geht..
das kann ich mir auch nicht vorstellen. Es ist wohl nicht umsonst, dass da einer so eine komische Funktion konstuiert hat. Wenn es eine einfachere geben würde, hätte er sich ja nicht die Mühe gemacht, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 So 10.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
soweit ich mich erinnere ist das standard-beispiel für eine nicht stetig-differenzierbare funktion
[m] f(x) = \begin{cases} x^2\sin\left(\frac{1}{x} \right) & \text{ für } x \not=0 \\ 0 & \text{ für } x = 0 \end{cases} [/m]
die funktion ist auf ganz [m] \mathbb{R} [/m] differenzierbar (für $x=0$ sieht man dies indem man den differenzenquotient berechnet), aber die ableitung ist in $0$ nicht stetig, da die grenzwerte nicht existieren.
nebenbei: der satz von darboux sagt außerdem, dass die ableitungsfunktion einer differenzierbaren funktion keine unstetigkeitsstellen erster art (also sprünge) haben kann.
andreas
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