stetig in (0,0) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Es sei [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) =(0,0)\mbox{ } \end{cases}
[/mm]
(Kriege das leider mit der Klammer net hin - sorry.)
Man prüfe nun, ob f in (0,0) stetig ist.
Also meine Frage:
Ich muss prüfen, ob [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] f(x) = 0 ist oder?
Aber ich weiß einfach nicht genaum, wie ich so einen Aufgabentyp lösen muss.
Könnt ihr mir bitte dabei helfen, damit ich mal weiß, die das geht.
Problem ist ja auch noch die Betragsfunktion darin, da die ja in (0,0) nicht stetig ist.
Grüße Tanzmaus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Di 30.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) =(0,0)\mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> (Kriege das leider mit der Klammer net hin - sorry.)
>
> Man prüfe nun, ob f in (0,0) stetig ist.
> Also meine Frage:
> Ich muss prüfen, ob [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] f(x) = 0 ist
> oder?
>
> Aber ich weiß einfach nicht genaum, wie ich so einen
> Aufgabentyp lösen muss.
> Könnt ihr mir bitte dabei helfen, damit ich mal weiß, die
> das geht.
> Problem ist ja auch noch die Betragsfunktion darin, da die
> ja in (0,0) nicht stetig ist.
In so einem Fall hilft es, sich erst einmal ein Bild von der Funktion zu machen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sieht auf den ersten Blick stetig aus. 
Eine Möglichkeit ist, das [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] zu überprüfen. Es muss also zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$ [/mm] geben, sodass
[mm] |f(x,y)| < \varepsilon [/mm], wenn [mm] $\|(x,y)\| [/mm] < [mm] \delta [/mm] $.
Die übliche Norm ist [mm] $\|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}$, [/mm] also ist
[mm] \|(x,y)\| < \delta \gdw x^2+y^2 <\delta^2 [/mm].
Jetzt schreibst du dir $|f(x,y)|$ hin und bedenkst, dass aus [mm] $x^2+y^2 <\delta^2 [/mm] $ folgt, dass [mm] $|x|<\delta$ [/mm]
und [mm] $|y|<\delta$ [/mm] ist .
Kommst du damit weiter?
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Rainer,
habe leider schon befürchtet, dass man das mit [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] machen muss :-(
Kann diese "tollen" Abschätzungen einfach nicht.
Wieso betrachtest du denn bei dir die Norm? Was hat das mit deer Definition zu tun?
Grüße Tanzmaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Di 30.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
> habe leider schon befürchtet, dass man das mit [mm]\varepsilon[/mm]
> und [mm]\delta[/mm] machen muss :-(
> Kann diese "tollen" Abschätzungen einfach nicht.
Ja, das erfordert Übung.
>
> Wieso betrachtest du denn bei dir die Norm? Was hat das mit
> deer Definition zu tun?
$f(x,y)$ ist doch eine Funktion vom [mm] $\IR^2$ [/mm] nach [mm] $\IR$. [/mm] Das [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] sagt dann, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $\delta$ [/mm] geben muss, damit
[mm] |f(x,y) - f(0,0)| < \varepsilon [/mm]
ist, wenn der Punkt $(x,y)$ näher als [mm] $\delta$ [/mm] am Punkt $(0,0)$ liegt, in Formeln: [mm] $\|(x,y) [/mm] - [mm] (0,0)\| [/mm] < [mm] \delta$.
[/mm]
Die Abschätzung ist gar nicht so schwer: da [mm] $y^2\ge [/mm] 0$ ist, gilt:
[mm] \left| \bruch{xy}{\sqrt{|x|} +y^2}\right | \le \bruch{|x| |y|}{\sqrt{|x|}} = \sqrt{|x|} |y| < \delta^{3/2}[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo rainer,
leider kann ich deine Schritte noch nicht so ganz nachvollziehen, kannst du irgendwie versuchen, mir das noch irgendwie zu erklären?
> [mm]f(x,y)[/mm] ist doch eine Funktion vom [mm]\IR^2[/mm] nach [mm]\IR[/mm]. Das
> [mm]\varepsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium sagt dann, dass es zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]\delta[/mm] geben muss, damit
>
> [mm]|f(x,y) - f(0,0)| < \varepsilon[/mm]
>
> ist, wenn der Punkt [mm](x,y)[/mm] näher als [mm]\delta[/mm] am Punkt [mm](0,0)[/mm]
> liegt, in Formeln: [mm]\|(x,y) - (0,0)\| < \delta[/mm].
>
> Die Abschätzung ist gar nicht so schwer: da [mm]y^2\ge 0[/mm] ist,
> gilt:
>
Insbesondere das hier verstehe ich irgendwie nicht :-(
> [mm]\left| \bruch{xy}{\sqrt{|x|} +y^2}\right | \le \bruch{|x| |y|}{\sqrt{|x|}} = \sqrt{|x|} |y| < \delta^{3/2}[/mm]
>
> Viele Grüße
> Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Mi 01.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
[mm] \left|\bruch{xy}{\sqrt{|x|}+y^{2}}\right|\stackrel{Nenner ist kleiner}{\le}\bruch{|x||y|}{\sqrt{|x|}}\stackrel{x=\wurzel{x}*\wurzel{x} + Kuerzen}{=}\sqrt{|x|}|y|\stackrel{Definition}{<}\delta^{3/2}
[/mm]
Marius
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So habe das nun nachvollziehen können.
Da |f(x,y)-f(0,0)| [mm] \le \delta^\bruch{3}{2} [/mm] = [mm] \varepsilon^\bruch{3}{2} \ge \varepsilon
[/mm]
und somit ist es nicht stetig in (0,0) oder?
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Hallo Tanzmaus,
> So habe das nun nachvollziehen können.
> Da |f(x,y)-f(0,0)| [mm]\le \delta^\bruch{3}{2}[/mm] =
> [mm]\varepsilon^\bruch{3}{2} \ge \varepsilon[/mm]
> und somit ist es
> nicht stetig in (0,0) oder? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Dass das Ding in $(0,0)$ stetig ist, wurde doch schon gesagt.
Wie musst du denn mit der obigen Abschätzung zu beliebig vorgegebenem [mm] $\varepsilon$ [/mm] das [mm] $\delta$ [/mm] wählen, damit am Ende der Abschätzungskette [mm] $...<\varepsilon$ [/mm] steht?
Doch [mm] $\delta:=\varepsilon^{\frac{2}{3}}$, [/mm] oder?
Schreibe damit mal den ganzen Beweis hin, beginnend mit
"Sei [mm] $\varepsilon>0$, [/mm] wähle [mm] $\delta:=...$, [/mm] dann gilt für alle .... "
LG
schachuzipus
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> Es sei [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x,y):=\begin{cases} \bruch{xy}{\wurzel{|x|}+y^2}, & \mbox{für } (x,y) \not= (0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) =(0,0)\mbox{ } \end{cases}[/mm]
> Problem ist ja auch noch die Betragsfunktion darin, da die
> ja in (0,0) nicht stetig ist.
Hallo,
die Betragsfunktion |x| ist stetig. Die beiden Zweige stoßen doch im Nullpunkt zusammen.
Ich glaube, Du verwechselst etwas: sie ist im Nullpunkt nicht differenzierbar.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
stimmt, habe das verwechselt mit der Betragsfunktion.
Aber kann ich dann das ganze nicht einfacher machen, indem ich sage, dass ich Kompositionen von stetigen Funktionen habe und somit das ganze in (0,0) stetig ist???
Grüße Tanzmaus
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> Aber kann ich dann das ganze nicht einfacher machen, indem
> ich sage, dass ich Kompositionen von stetigen Funktionen
> habe und somit das ganze in (0,0) stetig ist???
Hallo,
damit kannst Du begründen, daß Deine Funktion außerhalb von (0,0) stetig ist.
Aber im Punkt (0,0) ist ja [mm] \bruch{xy}{\sqrt{|x|} +y^2} [/mm] überhaupt nicht definiert, und deshalb kann Dein Argument in diesem Punkt nicht ziehen.
Gruß v. Angela
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