www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Differentiation" - stetig differenzierbar
stetig differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

stetig differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 So 18.05.2014
Autor: LinaWeber

Aufgabe
zeigen sie, die Funktion f(x) ist stetig differenzierbar
[mm] f(x)\left\{\begin{matrix} (1/x)-(1/(sin(x)), & \mbox{wenn }x0<|x| < \pi \\ 0, & \mbox{wenn }x=0 \end{matrix}\right. [/mm]


Heeey :-)
stetig differenzierbar bedeutet ja soviel, wie das die Ableitung der differenzierbaren Funktion stetig ist.
für x=0 ist dies ja beides erfüllt.

Für 0<|x| < [mm] \pi [/mm] ist die Funktion mit f'(x)= [mm] -\frac{2}{x^{2}}+\frac{cos(x)}{sin(x)^2} [/mm] differenzierbar ( reicht es hier als Beweis die Ableitung zu Bilden ?)
Damit eine Funktion Differenzierbar ist, muss ja eigentlich der Grenzwert zu
[mm] \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] existieren für limes x gegen [mm] x_{0} [/mm]

wenn ich dies hier bilde, weiß ich allerdings nicht wie ich für x gegen [mm] x_{0} [/mm] hier: [mm] \frac{(1/x)-(1/sin(x))-(1/x_{0})+(1/sin(x))}{x-x_{0}} [/mm] weiterverfahren soll..


nun zu der Ableitung:
Die Konstante x=0 ist ja stetig. Also geht es jetzt um den linksseitigen Grenzwert der Funktion [mm] g(x)=-\frac{2}{x^{2}}+\frac{cos(x)}{sin(x)^2} [/mm]
Damit diese Funktion stetig ist muss dieser ja für x gegen 0 =0 sein, damit dieser mit dem rechtsseitigem Grenzwert übereinstimmt.Nur wenn ich x gegen 0 gehen lassen divergiert für mich die Funktionenfolge..
Wo liegt der Fehler?


LG


        
Bezug
stetig differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:46 So 18.05.2014
Autor: Marcel

Hallo Lina,

> zeigen sie, die Funktion f(x) ist stetig differenzierbar
>  [mm]f(x)\left\{\begin{matrix} (1/x)-(1/(sin(x)), & \mbox{wenn }x0<|x| < \pi \\ 0, & \mbox{wenn }x=0 \end{matrix}\right.[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> Heeey :-)
>  stetig differenzierbar bedeutet ja soviel, wie das die
> Ableitung der differenzierbaren Funktion stetig ist.

[ok]

> für x=0 ist dies ja beides erfüllt.

Bitte? Dann wäre also die noch nicht mal stetige Funktion $g\,$ mit

    $g(x):=x+1$ für $|x| > 0\,$ und $g(0):=1\,$

Deiner Meinung nach in $x_0=0\,$ stetig diff'bar?

Nein!

Ich bin jetzt rechenfaul, deshalb beantworte ich Deine Frage nur mal
mit einer Anleitung, was Du zu tun hast, und kontrolliere Deine
Rechnungen nicht:

1.) Klar ist, dass Deine obige Funktion $f\,$ für $|x| > 0\,$ differenzierbar ist.
Du kannst die Ableitung dann hinschreiben, mit anderen Worten:
Du kannst

    $f_1:=\left.f\right|_{]-\infty,0[\;\cup\;[0,\infty]}$

hinschreiben. Die "üblichen Argumente" zeigen dann sicher, dass dieses
$f_1$ (das ist eine nur auf $\IR \setminus \{0\}$ definierte Funktion) stetig ist.
"Übliche Argumente": Summe stetiger Funktionen ist stetig, Verkettung
stetiger Funktionen ist stetig, ...

2.) Unklar ist, ob $f\,'(\red{0})$ überhaupt existiert, und wenn dieser existiert, dann
welcher Wert dort vorherrscht. Du berechnest also (falls möglich)

    $\lim_{x \to \red{0}} \frac{f(x)-f(\red{0})}{x-\red{0}}\,.$

Sagen wir jetzt mal, dieser existiert (soll ja, laut Aufgabenstellung) - eventuell
hilft hier auch sowas wie de l'Hôpital - und wir haben nun

    $G:=\lim_{x \to \red{0}} \frac{f(x)-f(\red{0})}{x-\red{0}}\,.$
(Nebenbei: Vielleicht erinnerst Du Dich auch daran, dass ihr mal

    $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$ (etwa mit de l'Hôpital, es geht aber auch anders)

berechnet habt. Ohne es gerechnet zu haben, denke ich, dass sowas oben
auftauchen könnte...)


3.) Damit wissen wir nun, dass $f\,$ differenzierbar ist, und es gilt

    $f\,'(x)=\begin{cases} f_1(x), & \mbox{für } |x| > 0\, \\ G, & \mbox{für } x=0 \end{cases}\,.$

4.) Im Punkt 1.) haben wir uns ja schon Gedanken gemacht, dass $f_1$ stetig
sein wird (bzw. Du hast Dir dann später hoffentlich diese Gedanken
gemacht). Damit ist $\left.f\,'\right|_{\IR \setminus \{0\}}$ stetig. (Beachte: $\IR \setminus \{0\}=]-\infty,0[ \cup ]0,\infty[\,.$) Aber was
noch zu klären ist, ist die Frage:

   Ist $f\,'$ auch stetig in der Stelle $x=0\,$?

Anders gesagt:
Gilt

    $\lim_{x \to 0}$ $f\,'(x)=f\,'(0)$    (Erinnerung: $f\,'(0)=G\,$)?

P.S. $\lim_{x \to x_0}...$ bedeutet immer $\lim_{x_0 \not=x \to x_0}...$

P.P.S.
Was haben wir eigentlich oben gemacht bzw. was ist der Grundgedanke?
Wir haben

    $\bullet$ zuerst mal die Ableitung dort hingeschrieben, wo wir sie direkt hinschreiben können
    (Ist klar, wie das gemeint ist und wie das funktionierte?)

    $\bullet$ danach haben wir an den Stellen, wo wir die Ableitung nicht direkt hinschreiben
    konnten, diese "per Definitionem" berechnet

    $\bullet$ mit den obigen beiden Punkten konnten wir dann $f\,'$ (also die Ableitung)
    komplett hinschreiben (wir wissen an dieser Stelle: $f\,$ ist differenzierbar
    und kennen die Ableitung $f\,'$ "gänzlich")

    $\bullet$ dann nachgeschaut, wo die Ableitung "offensichtlich" stetig ist (eigentlich
    mache ich das oben schon direkt am Anfang beim Punkt 1.)), und dann haben wir
    bei $f\,'$ noch die Stelle(n) auf Stetigkeit überprüft, an denen es nicht direkt
    "offensichtlich" ist, dass $f\,'$ dort stetig ist

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
stetig differenzierbar: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:35 Mo 19.05.2014
Autor: LinaWeber

Hey


>  
> 1.) Klar ist, dass Deine obige Funktion [mm]f\,[/mm] für [mm]|x| > 0\,[/mm]
> differenzierbar ist.
>  Du kannst die Ableitung dann hinschreiben, mit anderen
> Worten:
>  Du kannst
>  
> [mm]f_1:=\left.f\right|_{]-\infty,0[\;\cup\;[0,\infty]}[/mm]
>  
> hinschreiben. Die "üblichen Argumente" zeigen dann sicher,
> dass dieses
>  [mm]f_1[/mm] (das ist eine nur auf [mm]\IR \setminus \{0\}[/mm] definierte
> Funktion) stetig ist.

okay das verstehe ich. Also weiß ich hier schon, das die Funktion sowie ihre Ableitung für |x|>0 stetig (und somit auch differenzierbar ist)

>  
> 2.) Unklar ist, ob [mm]f\,'(\red{0})[/mm] überhaupt existiert, und
> wenn dieser existiert, dann
>  welcher Wert dort vorherrscht. Du berechnest also (falls
> möglich)


das verstehe ich nicht. Die Ableitung von f(x)=0 ist doch immer 0 oder nicht?

>  
> [mm]\lim_{x \to \red{0}} \frac{f(x)-f(\red{0})}{x-\red{0}}\,.[/mm]
>  

hier erhalte ich:
[mm] \lim_{x \to \red{0}} \frac{f(x)-f(\red{0})}{x-\red{0}}\ [/mm]

aber da x ja im Nenner ist, kann ich f(0) doch gar nicht bilden, oder was ich hier gemeint? Denn mein erster Summand ist doch (1/x)...

> Sagen wir jetzt mal, dieser existiert (soll ja, laut
> Aufgabenstellung) - eventuell
>  hilft hier auch sowas wie de l'Hôpital

(hatten wir leider noch nicht)
- und wir haben

> nun
>  
> [mm]G:=\lim_{x \to \red{0}} \frac{f(x)-f(\red{0})}{x-\red{0}}\,.[/mm]

ja das verstehe ich. Aber ich darf ja eben nicht =0 einsetzen, da sonst der gesamte Nenner =0 ist..

>  


>  
> 4.) Im Punkt 1.) haben wir uns ja schon Gedanken gemacht,
> dass [mm]f_1[/mm] stetig
>  sein wird (bzw. Du hast Dir dann später hoffentlich diese
> Gedanken
>  gemacht). Damit ist [mm]\left.f\,'\right|_{\IR \setminus \{0\}}[/mm]
> stetig. (Beachte: [mm]\IR \setminus \{0\}=]-\infty,0[ \cup ]0,\infty[\,.[/mm])
> Aber was
> noch zu klären ist, ist die Frage:
>  
> Ist [mm]f\,'[/mm] auch stetig in der Stelle [mm]x=0\,[/mm]?

ja, das verstehe ich das dies zu prüfen ist, die Grenzwerte müssen ja übereinstimmen. Aber ohne einen festen Wert für G kann ich dies ja nicht prüfen..



LG

Bezug
                        
Bezug
stetig differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Mo 19.05.2014
Autor: leduart

Hallo
wenn du einen GW bildest setzt du ja nicht ein (hier die 0 sondern du bestimmst den wert in einer ˜epsilon Umgebung von 0
z.B iin  1/x-1/x darfst du 0 nicht einsetzen, aber in jeder Umgebung von x=0 solange [mm] x\not=0 [/mm] ist das Null. also ist der GW 0
jetzt betrachte sinx in der Nähe von 0, z.B durch die Reihe für sinx und gehe vor wie oben.
(in der Nähe von 0 kann man sinx immer besser durch seine Tangente in 0 annähern!)
Gruß leduart

Bezug
                                
Bezug
stetig differenzierbar: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:38 Mo 19.05.2014
Autor: LinaWeber

Hey
ich verstehe nicht genau was du meinst. wenn ich den Differenzenquotienten habe mit:
[mm] \frac{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] dann muss ich ja für x auch 0 einsetzen wie es f(0) besagt und das funktioniert ja eben nicht
oder was meinst du?

LG

Bezug
                                        
Bezug
stetig differenzierbar: Funktion einsetzen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 Mo 19.05.2014
Autor: Roadrunner

Hallo Lina!


Setze in [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm] nunmehr die entsprechende Funktionsvorschrift $f(x)_$ bzw. den Funktionswert $f(0)_$ ein und mache dann die Grenzwertbetrachtung für [mm] $x\rightarrow [/mm] 0$ .


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                                
Bezug
stetig differenzierbar: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Mo 19.05.2014
Autor: LinaWeber

Hey
das ist ja das Problem.
Wie soll ich in f(x)= [mm] \frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)} [/mm]
0 einsetzen?
Der Nenner darf ja schließlich nicht =0 sein

LG

Bezug
                                                        
Bezug
stetig differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 Mo 19.05.2014
Autor: angela.h.b.


> Hey
>  das ist ja das Problem.
> Wie soll ich in f(x)= [mm]\frac{1}{x}-\frac{1}{sin(x)}[/mm]
>  0 einsetzen?
>  Der Nenner darf ja schließlich nicht =0 sein

Hallo,

erinnerst Du Dich noch an die Funktionsvorschrift?

Es ist doch

[mm] f(x)\left\{\begin{matrix} (1/x)-(1/(sin(x)), & \mbox{wenn }0<|x| < \pi \\ 0, & \mbox{wenn }x=0 \end{matrix}\right. [/mm]

Was ist also f(0)?

LG Angela

>  
> LG


Bezug
                                                                
Bezug
stetig differenzierbar: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Mo 19.05.2014
Autor: LinaWeber

Hey
danke, ich stand etwas am Schlauch
jetzt erhalte ich nach Umformen als Differenzenquotient:
[mm] \frac{(1/x)-(1/sin(x))}{x} [/mm] = [mm] -\frac{1}{x*sin(x)}+\frac{1}{x^2} [/mm]
so.. wenn ich jetzt x gegen 0 gehen lassen gehen beiden Brüche gegen Unendlich..aber so erhalte ich ja immer noch keinen Konstanten Wert. Wo liegt der Fehler?


LG

Bezug
                                                                        
Bezug
stetig differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Mo 19.05.2014
Autor: Marcel

Hi Lina,

> Hey
>  danke, ich stand etwas am Schlauch
>  jetzt erhalte ich nach Umformen als Differenzenquotient:
>  [mm]\frac{(1/x)-(1/sin(x))}{x}[/mm] =
> [mm]-\frac{1}{x*sin(x)}+\frac{1}{x^2}[/mm]
>  so.. wenn ich jetzt x gegen 0 gehen lassen gehen beiden
> Brüche gegen Unendlich..aber so erhalte ich ja immer noch
> keinen Konstanten Wert. Wo liegt der Fehler?

sowas wie [mm] $\infty-\infty$ [/mm] ist undefiniert. Ich schreib's Dir mal ein wenig
sauberer hin:
Um

    [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ [/mm]

zu berechnen, sei zunächst $x [mm] \not=0$ [/mm] beliebig. Dann gilt

    [mm] $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{x}*\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\sin(x)}\right)=...=\frac{\sin(x)-x}{x^2\sin(x)}$ [/mm]

Dies kann man (unter Beachtung von $x [mm] \not=0$) [/mm] umschreiben

    [mm] $=\frac{\sin(x)-x}{x^3}*\frac{x}{\sin(x)}$ [/mm]

Der zweite Faktor strebt bei $x [mm] \to [/mm] 0$ (Dir) bekanntlich (?) gegen [mm] $1\,.$ [/mm] (Falls
Dir das nicht bekannt sein sollte: Ich schreibe im Prinzip unten auch
nochmal etwas dazu!)
Es bleibt also

    [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3}$ [/mm]

zu bestimmen (warum reicht das nun?).

Nach de l'Hôpital (Fall [mm] "$0/0\,$") [/mm] folgt

    [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{3x^2}$ [/mm]

Nochmal de l'Hôpital (gleicher Fall) zeigt, dass der gesuchte Limes

    [mm] $=\lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{6x}$ [/mm]

ist.

Jetzt könnte man nochmal de l'Hôpital anwenden, oder man erinnert sich,
dass man ja schonmal mit de l'Hôpital

    [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$ [/mm]

berechnet hat.

Fazit:
Du solltest am Ende

    [mm] $f\,'(0)=-1/6$ [/mm]

berechnet haben!
(Aber: Nimm' die ganzen Puzzleteile oben und bastle Dir das mal so
zusammen, dass Du das alles insgesamt "in einer Rechenkette" siehst!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
stetig differenzierbar: P.S.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:47 So 18.05.2014
Autor: Marcel

P.S.:
Damit noch jemand auch Deine Rechnungen mal kontrolliert, stelle ich die
Frage mal nur auf "halb beantwortet"!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
stetig differenzierbar: Lösung mit Potenzreihe
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:58 Mo 19.05.2014
Autor: Leopold_Gast

Hier gegen die Forenregeln eine Musterlösung. Schau mal, wie du damit zurecht kommst. Eine Schritt-für-Schritt-Lösung halte ich bei deiner Art mitzumachen und mitzudenken nicht für sinnvoll.

Man kann eine Reihe angeben. Zunächst sieht man mit Hilfe der Sinusreihe:

[mm]\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \mp \ldots} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} \mp \ldots}[/mm]

Da der zweite Faktor eine gerade Funktion darstellt, kommt man mit dem Ansatz

[mm]\left( a + b x^2 + c x^4 + \ldots \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{6} x^2 + \frac{1}{120} x^4 \mp \ldots \right) = 1[/mm]

[mm]a + \left( b - \frac{1}{6} a \right) x^2 + \left( c - \frac{1}{6}b + \frac{1}{120} a \right) x^4 + \ldots = 1[/mm]

durch Koeffizientenvergleich ans Ziel:

[mm]a = 1 \, , \ b - \frac{1}{6} a = 0 \, , \ c - \frac{1}{6}b + \frac{1}{120} a = 0[/mm]

Man erhält:

[mm]a = 1 \, , \ b = \frac{1}{6} \, , \ c = \frac{7}{360}[/mm]

Jetzt geht es oben weiter:

[mm]\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} \cdot \left( 1 + \frac{1}{6} x^2 + \frac{7}{360} x^4 + \ldots \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{6} x + \frac{7}{360} x^3 + \ldots[/mm]

Und für die originale Funktion erhält man:

[mm]f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} - \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{6} x + \frac{7}{360} x^3 + \ldots \right) = - \frac{1}{6} x - \frac{7}{360} x^3 - \ldots[/mm]

Damit ist [mm]f[/mm] in einer Umgebung von 0 durch eine Potenzreihe darstellbar und von der Klasse [mm]C^{\infty}[/mm].

Bezug
                
Bezug
stetig differenzierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:30 Mo 19.05.2014
Autor: Marcel

Hallo Leopold,

> Hier gegen die Forenregeln eine Musterlösung. Schau mal,
> wie du damit zurecht kommst. Eine
> Schritt-für-Schritt-Lösung halte ich bei deiner Art
> mitzumachen und mitzudenken nicht für sinnvoll.
>  
> Man kann eine Reihe angeben. Zunächst sieht man mit Hilfe
> der Sinusreihe:
>  
> [mm]\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} \mp \ldots} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} \mp \ldots}[/mm]
>  
> Da der zweite Faktor eine gerade Funktion darstellt, kommt
> man mit dem Ansatz
>  
> [mm]\left( a + b x^2 + c x^4 + \ldots \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{6} x^2 + \frac{1}{120} x^4 \mp \ldots \right) = 1[/mm]
>  
> [mm]a + \left( b - \frac{1}{6} a \right) x^2 + \left( c - \frac{1}{6}b + \frac{1}{120} a \right) x^4 + \ldots = 1[/mm]
>  
> durch Koeffizientenvergleich ans Ziel:
>  
> [mm]a = 1 \, , \ b - \frac{1}{6} a = 0 \, , \ c - \frac{1}{6}b + \frac{1}{120} a = 0[/mm]
>  
> Man erhält:
>  
> [mm]a = 1 \, , \ b = \frac{1}{6} \, , \ c = \frac{7}{360}[/mm]

vielleicht sollte man hier sagen, dass Du kurz andeutest, wie sich
entsprechende Unbekannte sukzessiv bestimmen lassen (und die ersten
drei rechnest Du konkret vor).
  

> Jetzt geht es oben weiter:
>  
> [mm]\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} \cdot \left( 1 + \frac{1}{6} x^2 + \frac{7}{360} x^4 + \ldots \right) = \frac{1}{x} + \frac{1}{6} x + \frac{7}{360} x^3 + \ldots[/mm]
>  
> Und für die originale Funktion erhält man:
>  
> [mm]f(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x} - \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{6} x + \frac{7}{360} x^3 + \ldots \right) = - \frac{1}{6} x - \frac{7}{360} x^3 - \ldots[/mm]
>  
> Damit ist [mm]f[/mm] in einer Umgebung von 0 durch eine Potenzreihe
> darstellbar und von der Klasse [mm]C^{\infty}[/mm].

Das ist ein sehr schönes Ergebnis, welches wesentlich mehr aussagt als
das, was in der Aufgabe verlangt war. Ob sowas schon benutzt werden
kann/darf, muss Lina wissen...

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]