stetig - punkt. - gleichmäßig < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Mi 16.02.2005 | | Autor: | baddi |
Hi together.
Bin nochmal am grübeln bezüglich der glm. Stetigkeit.
Habe ja zur Definition schon einiges geschrieben.
Def.
[mm]
\forall \varepsilon
\exists [x-y]:
\forall x',y' \in [x-y] :
|x'-y'| <= |x-y| und |f(x')-f(y')|<\varepsilon[/mm]
Ich habe mir eben eine einfache Aufgabe selbst gestellt und bin prompt daran gescheitert:
f: [mm] $\IR \setminus \{0\}$-> $\IR$
[/mm]
f: f(x) = 1/x
Ok, ich unterstelle mal das f punktweise stetig ist.
Muss da auch noch mal genauer nachlesen, aber ich glaube das stimmt.
So, nun aber geht es mir um die gleichmäßige Stetigkeit.
Ich dachte eigentlich f wäre nicht gleichmäßige Stetigkeit
habe aber (sicher Fehlerhaft ?) doch glm. Stetigkeit bewiesen.
Und zwar so:
Ich habe für alle [mm] $\varepsilon$
[/mm]
ein
[mm] $\delta$ [/mm] = 1 gewählt und es geht immer.
Ich finde immer
einen Bereich [x-y] für den alles geforderte gilt.
Ich kann einen Bereich knapp links neben der 0 wählen und da ist die Funktion ja streng monoton (ebenso rechts von der 0)
und alles klappt.
Ich meine in der Definition heißt es ja ich kann mir den [x,y]- Bereich selbst wählen. So kann ich die 0 ja einfach immer weglassen.
Ist meine Definition eben vielleicht doch falsch ?
Bin wohl etwas verwirrt gerade.
Thanks, Sebastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebastian!
> Hi together.
>
> Bin nochmal am grübeln bezüglich der glm. Stetigkeit.
> Habe ja zur Definition schon einiges geschrieben.
>
> Def.
> [mm]
\forall \varepsilon
\exists [x-y]:
\forall x',y' \in [x-y] :
|x'-y'| <= |x-y| und |f(x')-f(y')|<\varepsilon[/mm]
Was soll denn überhaupt $[x-y]$ sein? Einmal scheint es bei dir eine Zahl [mm] ($\exists [/mm] [x-y]$) zu sein, das andere Mal ein Intervall ($x',y' [mm] \in [/mm] [x-y]$). Ich verstehe den Sinn davon nicht ganz. Oder meinst du immer das Intervall [m][x,y][/m]? Dann ist deine Definition mit Sicherheit falsch, denn stetige Funktionen auf kompakten Intervallen sind dort immer gleichmäßig stetig! Und das Intervall $[x,y]$ ist kompakt!
Dass die Funktion [mm] $f(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] auf [mm] $\IR\setminus \{0\}$ [/mm] nicht glm. stetig ist, kannst du hier [mm] ($\leftarrow$ click it!) nachlesen (innerhalb des Textes findest du einen weiteren Link, der zu genau dieser Aufgabe führt).
Wie ich gerade gesehen habe, hat Christian dir jetzt auch [/mm] hier [mm] ($\leftarrow$ click it!)etwas dazu geschrieben! :-)
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mi 16.02.2005 | | Autor: | baddi |
Ach hallo Marcel, so ein mist, jetzt habe ich es unten hundertmal richtig geschrieben. Und hier die alte Version rein gepastet.
:(
Natürlich stimmt das nicht:
> > Def.
> > [mm]
\forall \varepsilon
\exists [x-y]:
\forall x',y' \in [x-y] :
|x'-y'| <= |x-y| und |f(x')-f(y')|<\varepsilon[/mm]
Ich wollte:
[mm]
\forall \varepsilon
\exists [x,y]:
\forall x',y' \in [x,y] :
|x'-y'| \le |x-y| \;\wedge\; |f(x')-f(y')|<\varepsilon[/mm]
So müsste est stimmen.
> Oder meinst du immer das Intervall [m][x,y][/m]?
Ja, ist ja jetzt korrigiert.
> Dann
> ist deine Definition mit Sicherheit falsch, denn stetige
> Funktionen auf kompakten Intervallen sind dort immer
> gleichmäßig stetig!
Moment... aber jeder Bereich um eine Zahl ist doch im Endeffekt ein Intervall.
Ach so in der Originaldefinition heisst es ja
... < [mm] $\delta$
[/mm]
dann müsste ich entsprechend auch
(x,y) wählen.
Also heißt die richtigere ;) Definition so:
[mm]
\forall \varepsilon
\exists (x,y):
\forall x',y' \in (x,y) :
|x'-y'| \le |x-y| \;\wedge\; |f(x')-f(y')|<\varepsilon[/mm]
Ja, das ist schon eine härtere Bedinung, so hat man weniger Auswahlmöglichkeiten für einen Bereich. Klar.
Jetzt stimmt es aber schon (!) - oder ???
Bitte bitte noch mal lesen - DAnke ! :)
> Dass die Funktion [mm]f(x)=\frac{1}{x}[/mm] auf [mm]\IR\setminus \{0\}[/mm]
> nicht glm. stetig ist, kannst du
> hier ([mm]\leftarrow[/mm] click
> it!) nachlesen (innerhalb des Textes findest du einen
> weiteren Link, der zu genau dieser Aufgabe führt).
Oh, vielen Dank. Werde ich gleich mal anschauen.
>
> Wie ich gerade gesehen habe, hat Christian dir jetzt auch
> hier ([mm]\leftarrow[/mm] click
> it!)etwas dazu geschrieben! 
Tschüssi, Sebastian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebastian!
> Ach hallo Marcel, so ein mist, jetzt habe ich es unten
> hundertmal richtig geschrieben. Und hier die alte Version
> rein gepastet.
> :(
>
>
> Natürlich stimmt das nicht:
> > > Def.
> > > [mm]
\forall \varepsilon
\exists [x-y]:
\forall x',y' \in [x-y] :
|x'-y'| <= |x-y| und |f(x')-f(y')|<\varepsilon[/mm]
>
>
> Ich wollte:
> [mm]
\forall \varepsilon
\exists [x,y]:
\forall x',y' \in [x,y] :
|x'-y'| \le |x-y| \;\wedge\; |f(x')-f(y')|<\varepsilon[/mm]
>
>
> So müsste est stimmen.
>
> > Oder meinst du immer das Intervall [m][x,y][/m]?
> Ja, ist ja jetzt korrigiert.
>
> > Dann
> > ist deine Definition mit Sicherheit falsch, denn stetige
>
> > Funktionen auf kompakten Intervallen sind dort immer
> > gleichmäßig stetig!
> Moment... aber jeder Bereich um eine Zahl ist doch im
> Endeffekt ein Intervall.
> Ach so in der Originaldefinition heisst es ja
> ... < [mm]\delta[/mm]
> dann müsste ich entsprechend auch
> (x,y) wählen.
>
> Also heißt die richtigere ;) Definition so:
>
> [mm]
\forall \varepsilon
\exists (x,y):
\forall x',y' \in (x,y) :
|x'-y'| \le |x-y| \;\wedge\; |f(x')-f(y')|<\varepsilon[/mm]
Nein, denn zu jeder (auf [mm] $\IR$) [/mm] stetigen Funktion findest du z.B. immer ein kompaktes Intervall $[x,y]$, auf dem die Funktion glm. stetig ist. Dann ist es kein Kunststück zu zeigen, dass die Funktion dann auch auf $(x,y)$ glm. stetig ist und deine Bedingung erfüllt ist. Damit wäre dann jede auf [mm] $\IR$ [/mm] stetige Funktion glm. stetig (das stimmt aber nicht, wie z.B. [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] oder [m]g(x)=\exp(x)[/m] zeigen, wenn man die richtige [mm] "$\varepsilon-\delta$-Defintion" [/mm] benutzt!).
Bei dir steht in deiner "Definition" ja nur die Existenz eines solchen Intervalles. Schau dir bitte nochmal an, was Christian hier [mm] ($\leftarrow$ click it!) dazu geschrieben hat!
Viele Grüße,
Marcel
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mi 16.02.2005 | | Autor: | baddi |
Und glaube ich weiter unten (sogar intelektuell) verarbeitet.
Sorry, sind irgendwie zwei Stränge mit fast gleichem Thema geworden.
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