stetig < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Nimm an, dass f:[0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] stetig ist. Beweise, dass es ein c [mm] \in [/mm] [0,1] gibt, dass f(c)=c gilt. |
ich verstehe nicht genau, was mit f:[0,1] [mm] \to [/mm] [0,1] gemeint ist?
[0,1] ist doch ein Intervall. und dieses intervall wird auf [0,1] abgebildet, aber wie sieht die funktion aus, wie kann man sich die vorstellen? (in einem koordinatensysmtem meine ich)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo weihnachtsman!
Die Darstellung $f \ : \ [mm] \blue{[0;1]} [/mm] \ [mm] \mapsto [/mm] \ [mm] \red{[0;1]}$ [/mm] für stetiges $f_$ besagt, dass aus dem Definitionsbereich [mm] $\blue{[0;1]}$ [/mm] jeder Wert aus dem Wertebereich [mm] $\red{[0;1]}$ [/mm] erreicht wird. Dabei ist hier völlig belanglos wie der Kurvenverlauf dazwischen aussieht.
Das kann einfach eine Gerade sein oder auch z.B. eine sinusähnliche Funktion in diesem Intervall.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
danke erstmal für die antwort!
also ist nur [mm] \ID [/mm] und [mm] \IW [/mm] angegeben,
in der Fragestellung steht ja, "BEWEISE , dass es EIN c [mm] \in [/mm] [0,1] gibt....
wie kann ich da was beweisen, wenn ich unendlich tausend funktionen gibt, die dieses intervall durchqueren. Da steht ja ",...dass es EIN c gibt..." kann man dann nicht sagen, f(x)=x (also die ursprungsgerade). Die Gerade erfüllt ja dann f(c)=c.
Das wäre ja dann zu simpel.... bewiesen hab ich ja nicht wirklich etwas... aber ich sollte ja zeigen, dass es EIN c gibt und ich hab eins angegeben...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mo 31.12.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
dann wollen wir einmal die Grundlagen für eine Beweisidee schaffen.
> Nimm an, dass f:[0,1] $ [mm] \to [/mm] $ [0,1] stetig ist. Beweise, dass es ein c $ [mm] \in [/mm] $ [0,1] gibt, dass f(c)=c gilt.
Wir definieren uns einmal eine weitere Funktion h mit der Eigenschaft
[mm] h(x_{})=f(x)-x [/mm] und [mm] h:[0,1]\to\IR. [/mm] h ist stetig, da Komposition stetiger Funktionen.
Aus der Aufgabenstellung wissen wir, dass [mm] f:[0,1]\to[0,1].
[/mm]
Wir können also folgern: [mm] 1)f(0)\ge{0}
[/mm]
[mm] 2)f(1)\le{1}
[/mm]
Gilt f(0)=0 so ist [mm] c=0\in[0,1] [/mm] der Fixpunkt.
Gilt f(1)=1 so ist [mm] c=1\in[0,1] [/mm] der Fixpunkt.
Ist f(0)>0 und f(1)<1, so gilt:
[mm] h(0)=f(0)-0_{}>0
[/mm]
[mm] h(1)=f(1)-1_{}<0
[/mm]
Da h stetig, [mm] \exists [/mm] ein [mm] c\in(0,1) [/mm] mit
h(c)=f(c)-c=0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(c)-c=0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(c)=c.
Insgesamt: Es [mm] \exists [/mm] ein [mm] c\in[0,1] [/mm] mit f(c)=c. q.e.d.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> dann wollen wir einmal die Grundlagen für eine Beweisidee
> schaffen.
oh, danke!!! du hast mir ja gleich nen ganzen beweis geliefert!!! ;)
noch eine frage
>
> Da h stetig, [mm]\exists[/mm] ein [mm]c\in(0,1)[/mm] mit
>
> h(c)=f(c)-c=0
wieso kommt da null raus?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo weihnachtsman!
Gemäß Aufgabenstellung ist doch $x \ = \ c$ genau die Stelle mit $f(c) \ = \ c$ .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo weihnachtsman!
> in der Fragestellung steht ja, "BEWEISE , dass es EIN c [mm]\in[/mm]
> [0,1] gibt....
Im Sinne von "mindestens ein ..."
Sagt Dir vielleicht der ![[]](/images/popup.gif) Zwischenwertsatz etwas?
Gruß
Loddar
|
|
|
|
