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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Fr 26.06.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Sei [mm] $S^1:=\{Z \in \IC ; |Z|=1\} =\{Z\in Re(Z)^2+Im(Z)^2=1\} [/mm] $ der Einheitskreis mit Mittelpunkt $0$
Zeigen sie
[mm] $\Phi :\IR \to S^1\setminus\{i\}; [/mm] r [mm] \mapsto \frac{2r}{r^2+1} +\frac{r^2-1}{r+1} \cdot [/mm] {}i $ ist bijektiv mit der umkehrabbildung $ [mm] \Phi^{-1} :S^1\setminus\{1\} \to \IR; [/mm] z [mm] \mapsto \frac{Re(z)}{1-Im(z)} [/mm] $ |
Hallo
Wie gehe ich die sache an zeige ich injektivitaet und surjektivitaet oder gibst da nen trick,weil ich mir bei den umformungen nicht sicher bin...:/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:32 Fr 26.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]S^1:=\{Z \in \IC ; |Z|=1\} =\{Z\in Re(Z)^2+Im(Z)^2=1\}[/mm]
> der Einheitskreis mit Mittelpunkt [mm]0[/mm]
>
> Zeigen sie
>
> [mm]\Phi :\IR \to S^1\setminus\{i\}; r \mapsto \frac{2r}{r^2+1} +\frac{r^2-1}{r+1} \cdot {}i[/mm]
Diese Abb. Vorschrift hast Du falsch abgeschrieben !
> ist bijektiv mit der umkehrabbildung [mm]\Phi^{-1} :S^1\setminus\{1\} \to \IR; z \mapsto \frac{Re(z)}{1-Im(z)}[/mm]
>
> Hallo
>
> Wie gehe ich die sache an zeige ich injektivitaet und
> surjektivitaet
Ja
> oder gibst da nen trick,weil ich mir bei den
> umformungen nicht sicher bin...:/
Zeig Deine Umformungen, aber mir dem richtigen [mm] \PHi.
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:33 Fr 26.06.2015 | | Autor: | nkln |
yes I beg your pardon!
$ [mm] \Phi :\IR \to S^1\setminus\{i\}; [/mm] r [mm] \mapsto \frac{2r}{r^2+1} +\frac{r^2-1}{r^2+1} \cdot [/mm] {}i $
f ist injektiv genau dann wenn $ [mm] \Phi(x)=\Phi(r) \Rightarrow [/mm] x=r , [mm] \forall [/mm] x,r [mm] \in \IR [/mm] $
Beweis
[mm] $\frac{2r}{r^2+1} +\frac{r^2-1}{r^2+1} \cdot [/mm] {}i = [mm] \frac{2x}{x^2+1} +\frac{x^2-1}{x^2+1} \cdot [/mm] {}i$
[mm] $\gdw \frac{i\cdot{}(r-i)}{(r+i)} [/mm] = [mm] \frac{i\cdot{}(x-i)}{(x+i)} [/mm] | [mm] \frac{1}{i}$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{(r-i)}{(r+i)} [/mm] = [mm] \frac{(x-i)}{(x+i)} [/mm] $
[mm] $\gdw \frac{(r-i+i-i)}{(r+i)} [/mm] = [mm] \frac{(x-i+i-i)}{(x+i)} [/mm] $
[mm] $\gdw \frac{(r+i}{(r+i)}-\frac{(2i)}{(r+i)} [/mm] = [mm] \frac{(x+i}{(x+i)}-\frac{(2i)}{(x+i)} [/mm] $
[mm] $\gdw [/mm] 1 [mm] -\frac{(2i)}{(r+i)} =1-\frac{(2i)}{(x+i)} [/mm] | -1 | *(-1) |*2i $
[mm] $\gdw(r+i) [/mm] =(x+i) |-i$
[mm] $\gdw [/mm] r =x$
[mm] $\Phi$ [/mm] ist injektiv :)
Beweis surjektiv
$ [mm] \Phi :\IR \to S^1\setminus\{i\}; [/mm] r [mm] \mapsto \frac{2r}{r^2+1} +\frac{r^2-1}{r^2+1} \cdot [/mm] {}i $
[mm] $s=\frac{2r}{r^2+1} +\frac{r^2-1}{r^2+1} \cdot [/mm] {}i $
[mm] $\gdw [/mm] s= [mm] \frac{i\cdot{}(r-i)}{(r+i)} |*\frac{1}{i} [/mm] $
[mm] $\gdw [/mm] s= [mm] \frac{(r-i)}{(r+i)}| [/mm] -1 | *(-1) |*2i|-i $
mit den umformungen wie oben kommt heraus
[mm] $r=\frac{2}{s-i} [/mm] -i$
daraus folgt ,dass [mm] $\Phi$ [/mm] surjektiv und injektiv ist, richtig fred oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Sa 27.06.2015 | | Autor: | nkln |
nicht gut?:/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 28.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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