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Forum "Steckbriefaufgaben" - steckbriefaufgabe
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steckbriefaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Sa 22.10.2005
Autor: darth_sausage

hallo,
ich habe ein problem mit folgender aufgabe:

eine parabel 3. ordnung hat im ursprung einen tiefpunkt. sie schliesst im 1. quadranten mit der x-achse eine fläche von 36 fe ein und berührt die gerade mit der gleichung g (x)= 3x

ich habe folgenden ansatz gefunden:

f(x)= [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm]
I f(0)= 0 -> d= 0                       -> [mm] f(x)=ax^3+bx^2 [/mm]
II f'(0)= 0 -> c=0                       -> f'(x)= [mm] 3ax^3+2bx [/mm]
III f'(0)=3                                      g(x)= 3x
IV f(x)= g(x)                                  [mm] (x_{b}/ y_{b}) [/mm] sei der berührpunkt

III [mm] 3ax_{b}^2+2bx_{b}=3 [/mm]
IV [mm] ax_{b}^3+bx_{b}^2= [/mm] 3x
V [mm] \integral_{0}^{ \bruch{-b}{a}} [/mm] {f(x) dx}= 36

ich weiss, dass ich nun mit hilfe der linearen gleichungssysteme a und b berechnen muss, komme aber leider zu keinem ergebnis.
die tatsache, dass die gesuchten variablen noch mit einem x mit hochzahl verbunden ist, iritiert mich und ich suche dringend jemanden, der mir das weitere vorgehen erklärt.
danke schon mal im vorraus für jede antwort

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
steckbriefaufgabe: weitere Schritte (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:30 Sa 22.10.2005
Autor: Loddar

Hallo darth_sausage,

[willkommenmr] !!


Mann-o-mann ... da hast Du Dir aber echt einen Kracher "ausgesucht" !


> I f(0)= 0 -> d= 0                  -> [mm]f(x)=ax^3+bx^2[/mm]
> II f'(0)= 0 -> c=0                  -> f'(x)= [mm]3ax^3+2bx[/mm]
> III f'(0)=3                                 g(x)= 3x
> IV f(x)= g(x)                             [mm](x_{b}/ y_{b})[/mm]
> sei der berührpunkt
>  
> III [mm]3ax_{b}^2+2bx_{b}=3[/mm]
> IV [mm]ax_{b}^3+bx_{b}^2=[/mm] 3x
> V [mm]\integral_{0}^{ \bruch{-b}{a}}[/mm] {f(x) dx}= 36

[ok] Deine Ansätze sind fast alle richtig [applaus] !!

Lediglich die Bedingung [III] (obere Version) stimmt nicht, da im Ursprung durch den Tiefpunkt eine horizontale Steigung vorgegeben ist.

Die Steigung mit der Geraden [mm] $\blue{g(x) \ = \ 3x}$ [/mm] berücksichtigst Du ja richtig durch Bedingung [mm] $\blue{3a*x_b^2+2b*x_b=3}$ [/mm] .


Wir ergänzen noch etwas: aus dem Tiefpunkt im Ursprung wissen wir auch:

$f''(0) \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$    [mm] $\gdw$ [/mm]   $6a*0 + 2b \ > \ 0$   [mm] $\gdw$ [/mm]   $b \ > \ 0$

(das benötigen wir für die Vereinfachung für später ...)

Aus Bedingung [V] mit dem Integral erhalten wir:
V' : [mm] $b^4 [/mm] \ = \ [mm] -432*a^3$ $\Rightarrow$ [/mm]   $b \ = \ [mm] \red{+} 2*\wurzel[4]{-27a^3}$ [/mm]


Für Gleichung [IV] können wir voraussetzen, dass $x \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ , da hier offensichtlich nicht der gesuchte Berührpunkt vorliegen kann.

Damit wird:

IV' : [mm] $a*x_b^2 [/mm] + [mm] b*x_b [/mm] \ = \ 3$


Gemeinsam mit Gleichung [III] kann man nun die Berührstelle [mm] $x_b$ [/mm] ermitteln: [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \wurzel{-\bruch{3}{a}}$. [/mm]

Dies setzen wir ein in [IV'] und erhalten dann:

$b \ = \ [mm] \red{+} [/mm] \ 6 * [mm] \wurzel{-\bruch{a}{3}}$ [/mm]


Gemeinsam mit [V'] können wir nun $a_$ und $b_$ ermitteln ...


Hier mal eine Skizze:

[Dateianhang nicht öffentlich]


Ich hoffe, Du konntest meinem Schweinsgalopp hier folgen ;-) ...

Gruß
Loddar

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
steckbriefaufgabe: wirklich alles richtig?!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:39 Sa 22.10.2005
Autor: Disap

Hallo Loddar
>
> > I f(0)= 0 -> d= 0                       -> [mm]f(x)=ax^3+bx^2[/mm]
>  > II f'(0)= 0 -> c=0                       -> f'(x)=

> [mm]3ax^3+2bx[/mm]
>  > III f'(0)=3                                      g(x)=

> 3x

> [ok] Deine Ansätze sind alle richtig [applaus] !!

Ich finde Bedingung III widerspricht Bedingung II.

II f'(0)= 0
III f'(0)=3

Das wuerde doch übersetzt bedeuten, an der Stelle x= 0 ist einmal die Steigung 0 und einmal die Steigung 3.

Oder was beisst mich da?

Liebe Gruesse Disap
Bezug
                        
Bezug
steckbriefaufgabe: Ups ... Du hast Recht!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:42 Sa 22.10.2005
Autor: Loddar

Hallo Disap!


Da hast Du völlig Recht! Das war mir entgangen, da er diese "Steigungsbedingung" danach nochmals richtig formuliert ...


Ich werde es gleich ändern! Danke für den Hinweis.


Gruß
Loddar

Bezug
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