stationäre Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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[mm] u(t)'=2u(t)-3u(t)^2-u(t)*v(t)
[/mm]
[mm] v(t)'=4v(t)-v(t)^2-5u(t)*v(t)
[/mm]
Wie bekomme ich aus den beiden DGL eine stationäre Lösung???
Ich brauche da mal einen Ansatz, sowas wie:
[mm] u''\vektor{u \\ u'}= \pmat{ ? & ? \\ ? & ? }\vektor{u \\ u'}
[/mm]
Kann mir da jmd weiterhelfen wäre sehr freundlich.
gruß Thomy
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$ [mm] u(t)'=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $
hier kann ich ja u ausklammern dann erhalate ich:
$ u(t)'=u(2-3u-v)$
$ [mm] v(t)'=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $
$ v(t)'=v(4-v-5u)$
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Hallo Thomyatberlin,
> [mm]u(t)'=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
> hier kann ich ja u ausklammern dann erhalate ich:
> [mm]u(t)'=u(2-3u-v)[/mm]
> [mm]v(t)'=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
> [mm]v(t)'=v(4-v-5u)[/mm]
Siehe diese Antwort.
Gruss
MathePower
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> [mm]u(t)'=2u(t)-3u(t)^2-u(t)*v(t)[/mm]
> [mm]v(t)'=4v(t)-v(t)^2-5u(t)*v(t)[/mm]
>
> Wie bekomme ich aus den beiden DGL eine stationäre
> Lösung???
>
> Ich brauche da mal einen Ansatz, sowas wie:
>
> [mm]u''\vektor{u \\ u'}= \pmat{ ? & ? \\ ? & ? }\vektor{u \\ u'}[/mm]
>
> Kann mir da jmd weiterhelfen wäre sehr freundlich.
>
> gruß Thomy
Stationäre Lösung heißt ja $\ u'(t)=0$ und $\ v'(t)=0$ und
[mm] u(t)=u_0 [/mm] und [mm] v(t)=v_0 [/mm] für alle t .
Einsetzen, Kürzen der entstandenen Gleichungen
und Auflösen des Gleichungssystems liefert ganz
leicht die gesuchten Werte für [mm] u_0 [/mm] und [mm] v_0 [/mm] !
LG Al-Chw.
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Irgendwie bekomme ich die Integration nicht hin:
u'=0 => u=0 und v ist beliebig
v'=0 => v=0 und u beliebig
[mm] u(t)=???=u^2-u^3-.... [/mm] ich bekomme u*v nicht integriert wie kommt man denn auf u*v? Da gilt ja die Produktregel. Sprich die Ableitung von irgendwas muss = u*v ergeben aber ich kapier nicht wie ich sie Rückwärts anwende.
[mm] v(t)=???=2v^2-1/3v^3-5???? [/mm] hier habe ich das selbe Problem.
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Hallo Thomyartberlin,
> Irgendwie bekomme ich die Integration nicht hin:
>
> u'=0 => u=0 und v ist beliebig
>
> v'=0 => v=0 und u beliebig
Hier folgt doch u=konstant, v=konstant
Diese konstanten Lösungen gilt es aus dem Gleichungssystem
[mm]0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t) [/mm]
[mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
zu ermitteln.
>
>
> [mm]u(t)=???=u^2-u^3-....[/mm] ich bekomme u*v nicht integriert wie
> kommt man denn auf u*v? Da gilt ja die Produktregel. Sprich
> die Ableitung von irgendwas muss = u*v ergeben aber ich
> kapier nicht wie ich sie Rückwärts anwende.
>
> [mm]v(t)=???=2v^2-1/3v^3-5????[/mm] hier habe ich das selbe Problem.
Gruss
MathePower
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Achso:
Also ist $ [mm] 0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $
$v=2+3u, da u=0 => v=2$
und bei
$ [mm] 0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $
$ u=4/5-v/5, da v=0 => u=4/5 $ Oder muss ich v=2 nehmen?
dan wäre es ja $ u=4/5-2/5=2/5 $
Also wäre der GGP bei (0/2) und (0/(4/5)) bzw. bei )0/(2/5)) ???
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Hallo Thomyatberlin,
> Achso:
>
> Also ist [mm]0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>
> [mm]v=2+3u, da u=0 => v=2[/mm]
Hier muss es doch [mm]v=2\blue{-}3u[/mm] heißen.
Damit hast Du 2 Fälle:
i) v=2-3*u
ii) u=0
Für jeden dieser Fälle betrachtest Du die Gleichung
[mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
und ermittelst daraus die Lösungen.
>
> und bei
>
> [mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>
> [mm]u=4/5-v/5, da v=0 => u=4/5[/mm] Oder muss ich v=2 nehmen?
>
> dan wäre es ja [mm]u=4/5-2/5=2/5[/mm]
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> Also wäre der GGP bei (0/2) und (0/(4/5)) bzw. bei
> )0/(2/5)) ???
>
Gruss
MathePower
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> Hallo Thomyatberlin,
>
> > Achso:
> >
> > Also ist [mm]0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
> >
> > [mm]v=2+3u, da u=0 => v=2[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
>
> Damit hast Du 2 Fälle:
>
> i) v=2+3*u ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das sollte heißen: v=2-3*u
> ii) u=0
>
> Für jeden dieser Fälle betrachtest Du die Gleichung
>
> [mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>
> und ermittelst daraus die Lösungen.
>
>
> >
> > und bei
> >
> > [mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
> >
> > [mm]u=4/5-v/5, da v=0 => u=4/5[/mm] Oder muss ich v=2 nehmen?
> >
> > dan wäre es ja [mm]u=4/5-2/5=2/5[/mm]
> >
> > Also wäre der GGP bei (0/2) und (0/(4/5)) bzw. bei
> > )0/(2/5)) ???
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Für $ [mm] 0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $
1.Fall v=2+3u
[mm] 0=2u-3u^2-2u+3u^2
[/mm]
0=0
2.Fall u=0
[mm] 0=2*u-3*(0)^2-2(0)*v
[/mm]
0=0
Für:
$ [mm] 0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $
1.Fall v=2+3u
[mm] 0=u^2+5/3u-2/3
[/mm]
u1=-2 u2=1/3
2.Fall u=0
v1=2 und v2=0
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Hallo Thomyatberlin,
> Für [mm]0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
Aus dieser Gleichung folgen doch die 2 Fälle:
i) v=2-3*u
ii)u=0.
Dann hast Du im Fall i) die Lösungen der Gleichung
[mm]0=4\blue{\left(2-3u\right)}-\blue{\left(2-3u\right)}^2-5*u\cdot{}\blue{\left(2-3*u\right)}[/mm]
im Fall ii) die Lösungen der Gleichung
[mm]0=4v(t)-v(t)^2-5*\blue{0}\cdot{}v(t)[/mm]
zu ermitteln.
>
> 1.Fall v=2+3u
>
> [mm]0=2u-3u^2-2u+3u^2[/mm]
>
> 0=0
>
> 2.Fall u=0
>
> [mm]0=2*u-3*(0)^2-2(0)*v[/mm]
>
> 0=0
>
> Für:
>
> [mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>
> 1.Fall v=2+3u
>
> [mm]0=u^2+5/3u-2/3[/mm]
>
> u1=-2 u2=1/3
>
> 2.Fall u=0
>
> v1=2 und v2=0
Gruss
MathePower
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i) v=2-3*u
ii)u=0.
im Fall i) die Lösungen der Gleichung
$ [mm] 0=4\blue{\left(2-3u\right)}-\blue{\left(2-3u\right)}^2-5\cdot{}u\cdot{}\blue{\left(2-3\cdot{}u\right)} [/mm] $
Also ist hier doch u1=2/3 und u2=1
im Fall ii) die Lösungen der Gleichung
$ [mm] 0=4v(t)-v(t)^2-5\cdot{}\blue{0}\cdot{}v(t) [/mm] $
Also ist hier doch v1=2 und v2=0
Sind die GGP jetzt ((2/3) / 2) und (1/0)? Und das ist die stationäre Lösung?
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Hallo Thomyatberlin,
> i) v=2-3*u
>
> ii)u=0.
>
> im Fall i) die Lösungen der Gleichung
>
> [mm]0=4\blue{\left(2-3u\right)}-\blue{\left(2-3u\right)}^2-5\cdot{}u\cdot{}\blue{\left(2-3\cdot{}u\right)}[/mm]
>
> Also ist hier doch u1=2/3 und u2=1
>
> im Fall ii) die Lösungen der Gleichung
>
> [mm]0=4v(t)-v(t)^2-5\cdot{}\blue{0}\cdot{}v(t)[/mm]
>
> Also ist hier doch v1=2 und v2=0
>
Die Lösung v1 musst Du nochmal nachrechnen.
>
> Sind die GGP jetzt ((2/3) / 2) und (1/0)? Und das ist die
> stationäre Lösung?
Nein.
Die Gleichgewichtspunkte haben im Fall i) die Form
[mm]\left(u_{k}, \ 2-3u_{k}\right), \ k=1,2[/mm]
Im Fall ii) die Form [mm]\left(0, v_{k}\right), \ k=1,2[/mm]
Gruss
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
v1=4
Die Gleichgewichtspunkte haben im Fall i) die Form
$ \left(u_{k}, \ 2-3u_{k}\right), \ k=1,2 $
Im Fall ii) die Form $ \left(0, v_{k}\right), \ k=1,2 $
Also $ \left(2/3, \ 0}\right) $, $ \left(1,-1\ }\right) $
und
$ \left(0,4\right) $ $ \left(0,0\right) $
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Hallo Thomyatberlin,
> v1=4
>
> Die Gleichgewichtspunkte haben im Fall i) die Form
>
> [mm]\left(u_{k}, \ 2-3u_{k}\right), \ k=1,2[/mm]
>
> Im Fall ii) die Form [mm]\left(0, v_{k}\right), \ k=1,2[/mm]
>
> Also [mm]\left(2/3, \ 0}\right) [/mm], [mm]\left(1,-1\ }\right)[/mm]
>
> und
> [mm]\left(0,4\right)[/mm] [mm]\left(0,0\right)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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Ich soll jetzt die Punktmenge zeichnen von den beiden Gleichnungen die wir zurvor benutzt hatten:
[mm] 0=2u-3u^2-uv
[/mm]
[mm] 0=4v-v^2-5uv
[/mm]
Als Hinweis steht bei, dass es 4 Gerade sein sollen die den ersten Quadraten in drei (offene) Bereiche aufgeteilen.
Kann ich mit dem GGP arbeiten und dann immer durch (0,0) gehen? Oder wie soll man das zeichnen?!
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Hallo Thomyatberlin,
> Ich soll jetzt die Punktmenge zeichnen von den beiden
> Gleichnungen die wir zurvor benutzt hatten:
> [mm]0=2u-3u^2-uv[/mm]
> [mm]0=4v-v^2-5uv[/mm]
> Als Hinweis steht bei, dass es 4 Gerade sein sollen die
> den ersten Quadraten in drei (offene) Bereiche
> aufgeteilen.
>
> Kann ich mit dem GGP arbeiten und dann immer durch (0,0)
> gehen? Oder wie soll man das zeichnen?!
>
Aus den beiden Gleichungen ergeben sich je 2 Geraden.
Diese sind in das Koordinatensystem einzuzeichnen.
Gruss
MathePower
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> Ich soll jetzt die Punktmenge zeichnen von den beiden
> Gleichungen die wir zuvor benutzt hatten:
> [mm]0=2u-3u^2-uv[/mm]
> [mm]0=4v-v^2-5uv[/mm]
> Als Hinweis steht bei, dass es 4 Gerade sein sollen die
> den ersten Quadraten in drei (offene) Bereiche
> aufgeteilen.
>
> Kann ich mit dem GGP arbeiten und dann immer durch (0,0)
> gehen? Oder wie soll man das zeichnen?!
"GGP" ist eine mir unbekannte Abkürzung.
Google liefert etwa "Global Garden Products", "General
Growth Properties", "Graphischer Großbetrieb Pössneck",
"Gastgewerbe und GewerbePolizei" ...
Die beiden Gleichungen kann man aber in je zwei
Geradengleichungen aufteilen:
$\ [mm] 2\,u-3\,u^2-u\,v=0\quad \gdw\quad [/mm] u=0\ [mm] \vee\ v=2-3\,u$
[/mm]
$\ [mm] 4\,v-v^2-5\,u\,v=0\quad \gdw\quad [/mm] v=0\ [mm] \vee\ v=4-5\,u$
[/mm]
Die Lösungsmenge jeder der beiden Gleichungen entspricht
der Vereinigungsmenge von zwei Geraden, also je einem
"Kreuz".
Die Lösungsmenge des Gleichungssystems entspricht der
Schnittmenge der zwei entstandenen "Geradenkreuze".
LG Al-Chw.
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$ [mm] 0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $
Also nach v umstellen?
v=2-3u (1)
$ [mm] 0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t) [/mm] $
hier nach u umstellen?
u=4/5-v/5(2) (2) in (1) einsetzen?
v=-1/4
und u=17/20
ich bin gerade ziemlich durcheinander :(
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Hallo Thomyatberlin,
> [mm]0=2u(t)-3u(t)^2-u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
>
> Also nach v umstellen?
>
> v=2-3u (1)
>
> [mm]0=4v(t)-v(t)^2-5u(t)\cdot{}v(t)[/mm]
> hier nach u umstellen?
>
> u=4/5-v/5(2) (2) in (1) einsetzen?
>
> v=-1/4
>
> und u=17/20
>
Siehe diese Antwort.
> ich bin gerade ziemlich durcheinander :(
Gruss
MathePower
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> Irgendwie bekomme ich die Integration nicht hin:
>
> u'=0 => u=0 und v ist beliebig
Aus u'=0 folgt nicht u=0 , sondern nur [mm] u=const.=u_0
[/mm]
> v'=0 => v=0 und u beliebig
dito
> [mm]u(t)=???=u^2-u^3-....[/mm] ich bekomme u*v nicht integriert wie
> kommt man denn auf u*v? Da gilt ja die Produktregel. Sprich
> die Ableitung von irgendwas muss = u*v ergeben aber ich
> kapier nicht wie ich sie Rückwärts anwende.
>
> [mm]v(t)=???=2v^2-1/3v^3-5????[/mm] hier habe ich das selbe Problem.
Zu integrieren gibt's hier gar nix mehr !
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