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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Di 15.02.2005 | | Autor: | bob |
also intgrale gibt es schon in vielen variationen:
[mm] \integral_{}^{} \bruch{e^2^t}{e^2^t+e^t-2}
[/mm]
ist die partialbruchzerlegung hier der geeignete ansatz?
[mm] (e^2^t):(e^2^t+e^t-2)=1+e^t- \bruch{e^2^t}{2} [/mm] o.ä.??
danke für eure hilfe
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:04 Di 15.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
die partialbruchzerlegungsidee ist schon nicht schlecht, jedoch würde ich erst die e-funktion wegsubstituieren, dann gilt mit [m] x = \textrm{e}^t [/m] und [m] \textrm{d}t = \frac{\textrm{d}x}{\textrm{e}^t} = \frac{\textrm{d}x}{x} [/m]:
[m] \int \frac{\textrm{e}^{2t}}{\textrm{e}^{2t} + \textrm{e}^t - 2} \, \textrm{d}t = \int \frac{x}{x^2 + x - 2} \, \frac{\textrm{d}x}{x} = \int \frac{\textrm{d}x}{x^2 + x - 2} [/m]
und partialbruchzerlegung führt zu
[m] \int \frac{1}{3x - 3} \, \textrm{d}x - \int \frac{1}{3x - 2} \, \textrm{d}x [/m],
was sich elementar mit der [mm] $\ln$-funktion [/mm] integrieren lässt. rücksubstitution nicht vergessen.
grüße
andreas
ps ich erhalte als stammfunktion [m] \frac{1}{3} \ln(\textrm{e}^t - 1) - \frac{1}{3} \ln(\textrm{e}^t + 2) + C [/m]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:46 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Andreas,
bei Deiner Antwort ist Dir im ersten Schritt der Substitution ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen: aus $e^{2t}$ wurde $x$ und nicht $x^{2}$.
Es müßte wie folgt lauten:
$ \int \frac{\textrm{e}^{2t}}{\textrm{e}^{2t} + \textrm{e}^t - 2} \, \textrm{d}t = \int \frac{x^{2}}{x^2 + x - 2} \, \frac{\textrm{d}x}{x} = \int \frac{x \textrm{d}x}{x^2 + x - 2} $
Und PBZ führt dann auf
$ \frac{2}{3} \int{\frac{\textrm{d}x}{x+2}+\frac{1}{3} \int{\frac{\textrm{d}x}{x-1} =\frac{2}{3}ln(x+2)+\frac{1}{3}ln(x-1)$
Nach Rücksubstitution ist das:
$\frac{2}{3}ln(e^{t}+2)+\frac{1}{3}ln(e^{t}-1)$
Grüße,
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Mi 16.02.2005 | | Autor: | bob |
hallo,
danke andreas und peter für eure hilfe.
vielleicht kann mir noch jemand von euch
hilfestellung bei der PBZ geben. und zwar
habe ich eine dreifache Nullstelle:X1,2,3=1 aus dem Integral
[mm] \integral_{}^{} \bruch{x²+x+1}{x³-1} [/mm] dx
als Konstanten wähle ich A1, A2 und A3
dies sieht laut lehrbuch weiter so aus:
[mm] \bruch{A1}{x-1}+ \bruch{A2}{(x-1)²}+ \bruch{A3}{(x-1)³}
[/mm]
bei der suche des hauptnenners komm ich nett weiter.
nimmt man nun nur (x-1)³ in den Nenner oder alle drei Nullstellen?
[mm] \bruch{A1((x-1)²+A2(x-1)+A3(x-1)(x-1)²}{(x-1)³}?
[/mm]
oder [mm] \bruch{?}{(x-1)(x-1)³} [/mm] repräsentiert das hier den korrekten Nenner?
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:35 Mi 16.02.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
> hallo,
> danke andreas und peter für eure hilfe.
> vielleicht kann mir noch jemand von euch
> hilfestellung bei der PBZ geben. und zwar
> habe ich eine dreifache Nullstelle:X1,2,3=1 aus dem
> Integral
> [mm]\integral_{}^{} \bruch{x²+x+1}{x³-1}[/mm] dx
> als Konstanten wähle ich A1, A2 und A3
> dies sieht laut lehrbuch weiter so aus:
> [mm]\bruch{A1}{x-1}+ \bruch{A2}{(x-1)^{2}}+ \bruch{A3}{(x-1)³}
[/mm]
>
> bei der suche des hauptnenners komm ich nett weiter.
> nimmt man nun nur (x-1)³ in den Nenner oder alle drei
> Nullstellen?
> [mm]\bruch{A1((x-1)²+A2(x-1)+A3(x-1)(x-1)²}{(x-1)³}?
[/mm]
Fängt eigentlich gut an, aber wieso hast Du an [mm] $A_{3}$ [/mm] noch Faktoren angehängt?
[mm]\bruch{A_{1}(x-1)^{2}+A_{2}(x-1)+A_{3}}{(x-1)^{3}}
[/mm] wäre richtig.
> oder [mm]\bruch{?}{(x-1)(x-1)³}[/mm] repräsentiert das hier den
> korrekten Nenner?
Wenn Du diesen Nenner wählst, wirst Du hinterher $(x-1)$ kürzen können. Soll heißen der Nenner [mm] $(x-1)^{3}$ [/mm] ist der einfachste.
> danke
>
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