spur eines hutprodukts und det < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 Do 02.06.2005 | | Autor: | marymary |
Hallo!
habe mal wieder eine Aufgabe, bei der ich allein nicht weiterkomme:
A soll eine nxn-Matrix über K sein. Ich soll nun zeigen, dass
[mm] det (1 - A) = \summe_{j=0}^{n} (-1) ^{j} Spur ( \bigcap_{}^{j} A ) [/mm]
ist, wobei [mm] \bigcap_{}^{j} [/mm] A das j-te Hutprodukt von A bezeichnet (also wie ein großes [mm] \wedge [/mm] ).
Von wegen man soll eigene Ansätze angeben und konkrete Fragen stellen: Da kann ich diesmal nicht viel zu schreiben - bin echt nicht weit gekommen....
Also WAS ich habe, ist, dass es für n=1 passt (krass, was? ;o)
Ja, und, dass die rechte Seite sich umformen (bzw. ausschreiben) lässt als
[mm] = 1 - spur (A) + spur (A \wedge A) - spur(A \wedge A \wedge A) + ...
= 1 - (a_{11} +a_{22} + ... + a_{nn} ) + spur (A \wedge A) ... [/mm]
Nun, ich hatte versucht, das ganz induktiv zu beweisen, aber das hat vorne und hinten nicht geklappt... Und als "Tipp" habe ich bisher nur verraten bekommen, dass es es lang und schwer sein solle.......
Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese Frage überhaupt hier stellen soll (ist ja eher multilinear, oder?), aber sie stammt aus "Linearer Algebra2" ...
LG, Marie
Wie oft muss man das hier eigentlich schreiben:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marie!
Es gilt ja:
[mm] $\big\wedge^n A(e_1\wedge \ldots \wedge e_n) [/mm] = [mm] \frac{1}{n!} \sum\limits_{\sigma \in S_n} sign(\sigma) (Ae_{\sigma(1)}) \wedge \ldots \wedge (Ae_{\sigma(n)}) [/mm] = [mm] \frac{1}{n!} \sum\limits_{\sigma \in S_n} sign(\sigma) \pmat{a_{1\sigma(1)} \\ \vdots \\ a_{n\sigma(1)}} \wedge \ldots \wedge \pmat{a_{1\sigma(n)} \\ \vdots \\ a_{n\sigma(n)}}$.
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $Spur(\big\wedge^n [/mm] A) = [mm] \sum\limits_{\sigma \in S_n} sign(\sigma) a_{1\sigma(1)} \ldots a_{n\sigma(n)} =\det(A)$.
[/mm]
So, und jetzt wendet man das Ganze auf $1-A$ anstatt $A$ an und erhält:
[mm] $\det(1-A) [/mm] = [mm] Spur(\big\wedge^n(1-A)) [/mm] = Spur [mm] \left( \sum\limits_{j=0}^n \big\wedge^{n-j}1 \wedge \big\wedge^j (- A) \right) [/mm] = Spur [mm] \left( \sum\limits_{j=0}^n (-1)^j \big\wedge^{n-j}1 \wedge \big\wedge^j A \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{j=0}^n (-1)^j Spur(\big\wedge^j [/mm] A)$.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Sa 04.06.2005 | | Autor: | marymary |
Hi Stefan!
Vielen Dank für deine Hilfe! =0)
Ich habe noch "ein paar" Rückfragen:
- Zunächst eine kurze Frage zur Schreibweise: Was bedeutet das [mm] S_{n} [/mm] ? Ist das die Menge aller Permutationen über n? (was auch als Per(n) geschrieben wird?)
- warum taucht bei deiner Formel für das Hutprodukt vorne ein " [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] " auf? Davon abgesehen, dass wir in LinA2 ja eh noch nicht viel über den lieben Hut wissen, habe ich in unserm Skript nur eine Formel genau wie deine entdeckt, nur ohne [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] ...
- Weiter habe ich leider nicht verstanden, warum
$ spur ( [mm] (Ae_{\sigma(1)}) \wedge \ldots \wedge (Ae_{\sigma(n)}) [/mm] ) = [mm] \pmat{a_{1\sigma(1)} \\ \vdots \\ a_{n\sigma(1)}} \wedge \ldots \wedge \pmat{a_{1\sigma(n)} \\ \vdots \\ a_{n\sigma(n)}} [/mm] $
- Das zweite Gleichheitszeichen in folgender Gleichung verstehe ich auch nicht:
$ [mm] \det(1-A) [/mm] = [mm] Spur(\big\wedge^n(1-A)) [/mm] = Spur [mm] \left( \sum\limits_{j=0}^n (-1)^j \big\wedge^j A \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{j=0}^n (-1)^j Spur(\big\wedge^j [/mm] A) $
- Und zu guter letzt: Woher weiß ich, dass ich die Spur in die Summe hineinziehen darf (in obiger Gleichung beim dritten Gleichheitszeichen)?
Liebe Grüße, Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:41 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Marie!
> - Zunächst eine kurze Frage zur Schreibweise: Was bedeutet
> das [mm]S_{n}[/mm] ? Ist das die Menge aller Permutationen über n?
> (was auch als Per(n) geschrieben wird?)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> - warum taucht bei deiner Formel für das Hutprodukt vorne
> ein " [mm]\bruch{1}{n!}[/mm] " auf? Davon abgesehen, dass wir in
> LinA2 ja eh noch nicht viel über den lieben Hut wissen,
> habe ich in unserm Skript nur eine Formel genau wie deine
> entdeckt, nur ohne [mm]\bruch{1}{n!}[/mm] ...
Ich habe die Definition aus "Lineare Algebra und Analytische Geometrie" von Rolf Walter, vieweg-Verlag.
> - Weiter habe ich leider nicht verstanden, warum
>
> [mm]spur ( (Ae_{\sigma(1)}) \wedge \ldots \wedge (Ae_{\sigma(n)}) ) = \pmat{a_{1\sigma(1)} \\ \vdots \\ a_{n\sigma(1)}} \wedge \ldots \wedge \pmat{a_{1\sigma(n)} \\ \vdots \\ a_{n\sigma(n)}}[/mm]
Naja, rechne doch mal [mm] $Ae_{\sigma(i)}$ [/mm] aus. Was ist denn eine Matrix, multipliziert mit dem $i$-ten Einheitsvektor? Ja, genau, die $i$-te Spalte von $A$. Das steht da.
> - Das zweite Gleichheitszeichen in folgender Gleichung
> verstehe ich auch nicht:
> - Und zu guter letzt: Woher weiß ich, dass ich die Spur in
> die Summe hineinziehen darf (in obiger Gleichung beim
> dritten Gleichheitszeichen)?
Die Spur ist doch linear.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Also, als Tipp haben wir bekommen, dass wir annehmen sollen, dass A o.B.d.A trigonalisierbar ist und dann sollen wir induktiv zeigen, dass
[mm] det(1-A)=(1-a_{1}) \cdots(1-a_{n})=1+ \summe_{k=1}^{n}(-1)^k \summe_{i_{1} <...
Diese [mm] i_{1},...i_{k} [/mm] versteh ich nicht so ganz, mir wäre das klarer, wenn ich dafür 1,...k einsetzen kann!?
Dann könnte ich das auch per Induktion zeigen.
Dann hab ich mal weitergemacht:
[mm] \summe_{j=0}^{n}(-1)^jSpur( \wedge^{j}A)=1+ \summe_{j=1}^{n}(-1)^jSpur( \wedge^{j}A)
[/mm]
Also bleibt bei der Aufgabe noch zu zeigen, dass
[mm] \summe_{k=1}^{n}(-1)^kSpur( \wedge^{k}A)= \summe_{k=1}^{n}(-1)^{k} \summe_{1<...
Kann man das alles so machen?
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nette!
> Also, als Tipp haben wir bekommen, dass wir annehmen
> sollen, dass A o.B.d.A trigonalisierbar ist und dann sollen
> wir induktiv zeigen, dass
> [mm]det(1-A)=(1-a_{1}) \cdots(1-a_{n})=1+ \summe_{k=1}^{n}(-1)^k \summe_{i_{1} <...
Hier fehlt was... aber ist schon klar: [mm] $a_{i_1} \cdot \ldots \cdot a_{i_k}$, [/mm] oder?
> wobei [mm]a_{i}[/mm] die Diagonaleinträge bzw. die Eigenwerte sind.
> Diese [mm]i_{1},...i_{k}[/mm] versteh ich nicht so ganz, mir wäre
> das klarer, wenn ich dafür 1,...k einsetzen kann!?
Nein, nein, das ist schon richtig. Du musst über alle geordneten $k$-Tupel aus [mm] $\{1,2,\ldots,n\}$ [/mm] summieren. Aber unten bei der Induktion hast du Glück: Es gibt ja nur ein geordnetes $n$-Tupel, insofern ist das unten in der Tat: [mm] $a_1 \cdot \ldots \cdot a_n$.
[/mm]
> Dann könnte ich das auch per Induktion zeigen.
Das kann man sehr gut zeigen. Ist aber eigentlich überflüssig, oder? Die Aussage ist doch völlig klar. Die rechte Seite beschreibt doch nur, wie man eine Produkt mit $n$ Faktoren ausmultipliziert. Naja, du kannst es ja noch schnell beweisen, wenn du willst...
> Dann hab ich mal weitergemacht:
> [mm]\summe_{j=0}^{n}(-1)^jSpur( \wedge^{j}A)=1+ \summe_{j=1}^{n}(-1)^jSpur( \wedge^{j}A)[/mm]
>
> Also bleibt bei der Aufgabe noch zu zeigen, dass
> [mm]\summe_{k=1}^{n}(-1)^kSpur( \wedge^{k}A)= \summe_{k=1}^{n}(-1)^{k} \summe_{1<...
> gilt und das hab ich dann auch mit Induktion bewiesen,
> wobei ich im Induktionsschritt benutzt habe, dass Spur
> [mm]\wedge^{n}A=a_1 \cdots a_n[/mm] ist.
Richtig. Hier nutzt du doch aus, dass
$Spur [mm] \wedge^n [/mm] A = [mm] \det(A)$
[/mm]
ist, oder? Das habe ich ja gezeigt. Oder habt ihr das in der Vorlesung auch gezeigt? Wenn ja, könntest du dann den Beweis mal hier reinstellen, damit ich ihn mit meinem (da fühle ich mich seeeehhhr unwohl) mal überprüfen kann. Mein Problem ist, dass wir in LA multilineare Algebra nie gemacht haben und später im Studium habe ich es auch nie gemacht. Also bringe ich es mir hier gerade im Hauruck-Verfahren bei. Vielleicht kannst du gerade deswegen mal was aus eurem Skript abtippen.
Habt ihr zum Beispiel
[mm] $Spur(A_1 \wedge \ldots \wedge A_n)$
[/mm]
irgendwo formal definiert? Ich habe mir nur zusammengestückelt, was man darunter verstehen könnte. Vermutlich muss ich meinen Beitrag dann anschließend noch einmal editieren. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:35 So 05.06.2005 | | Autor: | Nette |
Hallo Stefan!
So direkt haben wir das nicht bewiesen.
Also wir haben nur für ne lineare Abb. T:V [mm] \to [/mm] V (dim V=n) bewiesen, dass [mm] \wedge^{n} [/mm] T=det(T)Id ist (hier wird also noch mit der Identität multipliziert, was mir nicht so klar ist)
Ich kann mal den Beweis aus unserem Skript schreiben:
Sei [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] Basis
[mm] a=(a_{ij})=Matrix [/mm] von T in dieser Basis
[mm] Tv_{j}= \summe_{i}a_{ij}v_{i}
[/mm]
Dann folgt:
[mm] \wedge^{k}T(v_{1} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge v_{n})=Tv_{1} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge Tv_{n}= \summe_{i_{1},...,i_{n}} a_{i_{1}1} \cdots a_{i_{n}n} v_{i_{1}} \wedge... \wedge v_{i_{n}}= \summe_{ \nu \in Per(n)}a_{ \nu(1),1} \cdots \underbrace{a_{ \nu(n),n} v_{ \nu(1)} \wedge ... \wedge v_{ \nu(n)}}_{=sign( \nu) v_{1} \wedge ... \wedge v_{n}}
[/mm]
Damit ist der Beweis zu Ende, ich hoffe, dass ich nichts falsch abgeschrieben hab.
Soweit dazu, allerdings hab ich gemerkt, dass ich bei meiner zweiten Induktion nen Fehler gemacht hab, jetzt krieg ich den Induktionsschritt gar nicht mehr hin.
Gruß
Annette
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Mo 06.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nette!
Ach so, ja, ich sehe jetzt, warum die zweite Induktion so nicht funktioniert.
Ich denke mal, dass dann doch mein Weg (mutatis mutandis) der richtige ist.
Vielleicht kannst du die Lösung ja mal hier hereinstellen, wenn du sie hast, ja? Das wäre nett. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Sa 11.06.2005 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Hier ist jetzt die Lösung der Aufgabe:
Also wie ich oben schon mal geschrieben hab, kann man o.B.d.A annehmen, dass A trigonal (mit [mm] a_{1},...,a_{n} [/mm] auf der Diagonalen)
Es gilt
[mm] \wedge^{0}A=1
[/mm]
[mm] \wedge^{1}A=A \Rightarrow [/mm] spur( [mm] \wedge^{1}A)=a_{1}+...+a_{n}
[/mm]
[mm] \wedge^{2}A(e_{1} \wedge e_{2})=Ae_{1} \wedge Ae_{2}=a_{1}e_{1} \wedge [/mm] (# [mm] e_{1}+a_{2}e_{2}) =a_{1}e_{1} \wedge a_{2}e_{2}=a_{1}a_{2}(e_{1} \wedge e_{2}) [/mm] (#=Eintrag in der Matrix rechts von [mm] a_{1}, [/mm] interessiert hier ja nicht weiter)
So kann man weitermachen mit
[mm] \wedge^{2}A(e_{1}) \wedge e_{3}=a_{1}a_{3}(e_{1} \wedge e_{3})+Rest [/mm] (der interessiert nicht, da man für die Aufgabe nur die Diagonaleinträge wissen muss)
usw.
Dann erhält man
[mm] \wedge^{k}A(e_{i_{1}} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge e_{i_{k}})=Ae_{i_{1}} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge Ae_{i_{k}}= \summe_{j=1}^{i_{1}}a_{j}e_{j} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge \summe_{j=1}^{i_{k}}a_{j}e_{j}=
[/mm]
[mm] \underbrace{a_{i_{1}} \cdots a_{i_{k}}(e_{i_{1}} \wedge ... \wedge e_{i_{k}})}_{=Diagonalelement}+Rest [/mm]
Damit hat man gezeigt, dass
Spur( [mm] \wedge^{k}A)= \summe_{i_{1}<...
Dann muss man noch (wie ich oben schon mal geschrieben hab) per Induktion zeigen, dass gilt:
[mm] det(1-A)=(1-a_{1}) \cdots (1-a_{n})=1+ \summe_{k=1}^{n}(-1)^{k} \summe_{i_{1}<...
Und dann ist man fertig.
Gruß
Annette
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