spiegelung an der Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Sa 02.12.2006 | | Autor: | mutunus |
| Aufgabe | | Spiegelung an der Ebene |
Hallo zusammen,
ich habe folgendes Problem:
gegeben ist eine Ebene E={x: nx=c}
n: ein Normalen- Einheitsvektor
Die orthogonale Projektion eines beliebigen Punktes x auf die Ebene E ist dann gegeben durch
p(x)= x + (c-nx)n
und jetzt die Frage: wie komme ich darauf?
sitze schon seid 3 stunden an dem Problem... komme irgendwie nicht drauf
MfG Nazar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Sa 02.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mutunus,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ich nenne den beliebigen Punkt, der auf die Ebene projeziert werden soll, mal $A_$ bzw. dessen Ortsvektor [mm] $\vec{a}$ [/mm] , um Verwirrungen um Doppelbenennungen zu vermeiden.
Der gesuchte Projektionspunkt $A'_$ ist ja der Schnittpunkt der Ebene mit der Lotgeraden durch $A_$ .
Diese Gerade lautet: $g \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vec{a}+\lambda*\vec{n}$
[/mm]
Wenn ich zur Schnittpunktermittlung nun in die Ebenengleichung einsetze, erhalten wir:
[mm] $\vec{n}*\left( \ \red{\vec{a}+\lambda*\vec{n} } \ \right) [/mm] \ = \ c$
Aufgelöst nach [mm] $\lambda$ [/mm] ergibt das: [mm] $\lambda [/mm] \ = \ [mm] c-\vec{n}*\vec{a}$
[/mm]
Dabei wurde benutzt, dass gilt (wegen [mm] $\vec{n}$ [/mm] = Einheitsvektor): [mm] $\vec{n}*\vec{n} [/mm] \ = \ [mm] \left|\vec{n}\right|^2 [/mm] \ = \ [mm] 1^2 [/mm] \ = \ 1$
Den Term für [mm] $\lambda$ [/mm] in die Geradengleichung eingesetzt, liefert Dein gewünschtes Ergebnis.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Sa 02.12.2006 | | Autor: | mutunus |
Hi, Loddar
Danke für die schnelle antwort!
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