spezielle lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 Di 10.07.2007 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm] y'''+y''+8y'-10y=18e^{-x}
[/mm]
eine spezielle lösung dieser gleichung ist ja [mm] \bruch{1}{P(-1)}*18e^{-x}
[/mm]
[mm] P(\lambda)=\lambda^3+\lambda^2+8*\lambda-10
[/mm]
P(-1) = -18
somit ist die spezielle Lösung: [mm] \bruch{1}{P(-1)}*18e^{-x}=-e^{-x}
[/mm]
so würde die dgl [mm] y'''+y''+8y'-10y=18e^{x} [/mm] lauten, so wäre 1 ja eine nullstelle von P und obiges verfahren funktioniert nicht, laut meinem skript erhält man eine spezielle lösung durch
[mm] \bruch{1}{k! P_1(1)}*18e^{x} [/mm] wobei k die vielfachheit der nullstelle ist
was ist hier [mm] P_1 [/mm] außerdem ist die spezielle Lösung laut maple [mm] \bruch{18}{13}*x*e^{-x}
[/mm]
wie kommt man darauf? vielen dank für euere hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Di 10.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
im zweiten Fall, ist [mm] A*e^x [/mm] schon Lösung der homogenen Dgl. deshalb braucht man dann den Ansatz für die inhomogene Dgl mit [mm] C*x*e^x [/mm] es gibt für das C irgendwelche klugen Formeln, die man doch nie auswendig weiss, deshalb setzt man am besten in die Dgl ein und bestimmt C so. Wenn du das allgemein tust findest du sicher auch raus, wass dein P! ist.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mi 11.07.2007 | | Autor: | vivo |
[mm] y=(Cxe^{x}) [/mm] , [mm] y^{'}=(Cxe^{x} [/mm] + [mm] Ce^{x}) [/mm] , [mm] y^{''}=(Cxe^{x} [/mm] + [mm] 2Ce^{x}) [/mm] , [mm] y^{'''}=(Cxe^{x} [/mm] + [mm] 3Ce^{x})
[/mm]
in die dgl gibt:
( [mm] Cxe^{x} [/mm] + [mm] 3Ce^{x} [/mm] ) + ( [mm] Cxe^{x} [/mm] + [mm] 2Ce^{x} [/mm] ) + [mm] (8Cxe^{x} [/mm] + [mm] 8Ce^{x} [/mm] ) [mm] -10Cxe^{x}
[/mm]
= [mm] 3Ce^{x} [/mm] + [mm] 2Ce^{x} [/mm] + [mm] 8Ce^{x} [/mm] = [mm] 13Ce^{x}
[/mm]
also [mm] 13Ce^{x} [/mm] = [mm] 18e^{x}
[/mm]
13C=18 -> [mm] C=\bruch{18}{13}
[/mm]
-> [mm] \bruch{18}{13}xe^{x}
[/mm]
also ist mein (aus obiger formel) [mm] P_1(\lambda) [/mm] = [mm] 3\lambda^{3} [/mm] + [mm] 2\lambda^{2} [/mm] + [mm] 8\lambda [/mm] -> [mm] P_1(1)=13
[/mm]
[mm] \bruch{1}{k! P_1(1)}18xe^{x} [/mm] = [mm] \bruch{18}{13}xe^{x} [/mm] k ist hier die häufigkeit der nullstelle
aber das [mm] P_1 [/mm] muss doch schneller zu erkennen sein, sonst macht die benutzung der formel doch keinen sinn, wenn ich das so mach wie hier denn wenn ich soweit bin, dann kann ich C ja schon ausrechnen. Also wie erkenn ich [mm] P_1 [/mm] ohne einsetzen in die dgl?
oder wie ist es hier: [mm] y^{''}+5y^{'}=e^{-5x}
[/mm]
also -5 ist nullstell von [mm] P(\lambda) [/mm] und [mm] e^{-5x} [/mm] ist lösung der homogenen deshalb ansatz [mm] y=Cxe^{-5x} [/mm] , [mm] y^{'}=-5Cxe^{-5x} [/mm] + [mm] Ce^{-5x} [/mm] , [mm] y^{''}=-5Cxe^{-5x} [/mm] + [mm] 25Cxe^{-5x} -5Ce^{-5x}
[/mm]
in dgl gibt [mm] -5Ce^{-5x} [/mm] = [mm] e^{-5x} [/mm] -> [mm] C=\bruch{-1}{5} [/mm] und die spezielle lösung ist [mm] \bruch{-1}{5}xe^{-5x} [/mm]
wie erkenn ich hier [mm] P_1 [/mm] ????
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Hallo
ich beziehe mich auf deine erste Frage. Ich fürchte in deinem Skript ist ein Fehler.
Ist 1 k-fache Nullstelle von P, so hat die spezielle Lösung die Form [mm] Q(x)*e^x, [/mm] wobei Q ein Polynom vom Grad k ist. Was dein Programm ja auch liefert!
Der von mir zitierte Satz kann noch etwas verallgemeinert werden. Melde dich bitte bei Interesse
Gruß Korbinian
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