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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mi 13.11.2013 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Sei [mm] $C_{conv}(\mathbb{R}^2$ [/mm] := [mm] \{f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \exists \alpha= \lim_{|x|\to \infty} f(x) \}. [/mm] Entsprechend sei [mm] $C_0(\mathbb{R}^2 [/mm] ):= [mm] \{f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \lim_{|x|\to \infty} f(x)=0 \} [/mm] $ definiert. Man zeige nun: [mm] $C_{conv}(\mathbb{R}^2) /C_0(\mathbb{R}^2) \cong \mathbb{R} [/mm] $ |
Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht weiß, was hier FORMAL zu zeigen ist. Ich weiß zwar, wie Faktorräume definiert sind, tu mir aber schwer es auf solch monströse Gebilde dies anzuwenden. Kann mir da jemand helfen und aufschreiben, was zu zeigen ist? Ich wäre euch sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:17 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]C_{conv}(\mathbb{R}^2[/mm] := [mm]\{f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \exists \alpha= \lim_{|x|\to \infty} f(x) \}.[/mm]
> Entsprechend sei [mm]C_0(\mathbb{R}^2 ):= \{f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \lim_{|x|\to \infty} f(x)=0 \}[/mm]
> definiert. Man zeige nun: [mm]C_{conv}(\mathbb{R}^2) /C_0(\mathbb{R}^2) \cong \mathbb{R}[/mm]
>
> Mein Hauptproblem ist, dass ich nicht weiß, was hier
> FORMAL zu zeigen ist. Ich weiß zwar, wie Faktorräume
> definiert sind, tu mir aber schwer es auf solch monströse
> Gebilde dies anzuwenden. Kann mir da jemand helfen und
> aufschreiben, was zu zeigen ist? Ich wäre euch sehr
> dankbar.
Auf $ [mm] C_{conv}(\mathbb{R}^2) [/mm] $ ist eine Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] wie folgt definiert:
f [mm] \sim [/mm] g : [mm] \gdw [/mm] f-g [mm] \in [/mm] $ [mm] C_0(\mathbb{R}^2 [/mm] )$
d.h.: f [mm] \sim [/mm] g [mm] \gdw $\lim_{|x|\to \infty} [/mm] f(x) = [mm] \lim_{|x|\to \infty} [/mm] g(x)$
Die zu f geh. Äquivalenzklasse bez. ich mit [f]
Damit ist
$ [mm] C_{conv}(\mathbb{R}^2) /C_0(\mathbb{R}^2)= \{[f] :f \in C_{conv}(\mathbb{R}^2) \}$
[/mm]
Auf [mm] C_{conv}(\mathbb{R}^2) /C_0(\mathbb{R}^2) [/mm] wird wie folgt eine Addition und eine Skalarmultiplikation def., die [mm] C_{conv}(\mathbb{R}^2) /C_0(\mathbb{R}^2) [/mm] zu einem Vektorraum macht:
$[f]+[g]=[f+g], [mm] \alpha*[f]=[\alpha*f]$
[/mm]
Definiere nun die Abbildung [mm] \phi :C_{conv}(\mathbb{R}^2) /C_0(\mathbb{R}^2) \to \IR [/mm] wie fogt:
[mm] \phi(f):=\lim_{|x|\to \infty} [/mm] f(x) .
Zeige:
[mm] \phi [/mm] ist wohldefiniert, linear und bijektiv.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 Do 14.11.2013 | | Autor: | clemenum |
Hallo Fred,
vielen Dank für die verständliche Erläuterung dieses abstrakten Beispiels, so ist es mir deutlich klarer geworden was eigentlich dahinter steckt! 
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