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spd Matrix: Inverse auch spd?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Do 02.02.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

Habe eben Klausur geschrieben und konnte folgende wahrscheinlich nicht wirklich schwierige Aufgabe leider nicht lösen. Zu zeigen war, wenn A symmetrisch und positiv definit ist, dass dann auch [mm] A^{-1} [/mm] symmetrisch und positiv definit ist.

Ich wollte zuerst zeigen, dass [mm] A^{-1} [/mm] auch symmetrisch sein muss, aber schon da bin ich gescheitert: A symmetrisch bedeutet ja [mm] A=A^T. [/mm] Dann habe ich versucht: [mm] I=AA^{-1}= A^TA^{-1} [/mm] oder [mm] =A^{-1}^TA^T [/mm] aber dann kam ich nicht mehr weiter. Und wie zeige ich dann noch, dass [mm] A^{-1} [/mm] positiv definit ist? Oder macht man das sowieso ganz anders?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


        
Bezug
spd Matrix: Inversion und Transposition
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Do 02.02.2006
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Hallo Basti,

wenn du das Produkt zweier Matrizen transponierst dann gilt
[mm] $(AB)^T=B^TA^T$. [/mm]


Wenn $AB=1$ ist, d.h. B die Inverse von A ist, dann steht auf der rechten Seite der Gleichung...

Für die positiv-definit-Heit von $A^(-1)$ weiß ich grad auch keine Lösung. Du kannst ja mal untersuchen, was passieren würde, wenn diese Matrix nicht positiv definit ist.

Hugo

Bezug
        
Bezug
spd Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Do 02.02.2006
Autor: banachella

Hallo Bastiane,

mir fallen da zwei Möglichkeiten ein:

1. Da $A$ spd ist, gibt es eine orthogonale Matrix $Q$, so dass $Q^TAQ=D$ eine Diagonalmatrix ist. Dabei stehen auf der Diagonalen gerade die (positiven) Eigenwerte von $A$. Nun gilt:
[mm] $Q^TA^{-1}Q=\big(Q^{-1}A(Q^T)^{-1}\big)^{-1}=\big(Q^TAQ\big)^{-1}=D^{-1}$. [/mm]
Da [mm] $D^{-1}$ [/mm] spd ist, ist auch [mm] $A^{-1}$ [/mm] spd.

2. Hugo hat ja schon gezeigt, dass [mm] $A^{-1}$ [/mm] symmetrisch ist. Sei nun [mm] $x\in\IR^n\setminus\{0\}$. [/mm] Da $A$ invertierbar ist, gibt es ein [mm] $y\in\IR^n$, [/mm] so dass $Ay=x$. Dann gilt:
[mm] $\langle A^{-1}x;x\rangle=A^{-1}Ay;Ay\rangle=\langle y;Ay\rangle>0$. [/mm]

Gruß, banachella

Bezug
                
Bezug
spd Matrix: Boah!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:50 Do 02.02.2006
Autor: Hugo_Sanchez-Vicario

Zum Glück bin ich nicht mehr im ersten Semester. Sonst gäbe es für mich einiges nachzuholen.

Bezug
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