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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Chlors |
Hallo,
ich habe die Aufgabe, die Reihendarstellung von
sinh(x)=( [mm] e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x} [/mm] ) / 2
und
cosh(x)=( [mm] e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x} [/mm] ) / 2 zu bestimmen.
Ich kenne die Reihendarstellung von [mm] e^x, [/mm] aber ich komme nach dem Einsetzen nicht auf die richtigen Lösungen. Wie komme ich auf letztlich eine Summe?
z.b. sinh(x)=( [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^{k}/k! [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{\infty} {-x}^{k}/k! [/mm] ) / 2
richtige Lösung nach Buch: sinh(x)= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^{2k+1}/(2k+1)!
[/mm]
danke für eure Hilfe.
Liebe Grüße, Conny.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo,
in dem man die Terme in den Summen zusammenfasst, kommt man zu einer Aussage, welche Reihenglieder letztendlich verschwinden:
[mm]\displaylines{
\sinh (x)\; = \;\frac{{e^x \; - \;e^{ - x} }}{2} \cr
= \;\frac{1}{2}\;\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{x^k }}{{k!}}\; - \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( { - x} \right)^k }}{{k!}}} } } \right) \cr
= \;\frac{1}{2}\;\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{x^k }}{{k!}}\; - \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^k \;x^k }}{{k!}}} } } \right) \cr
= \;\frac{1}{2}\;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {1\; - \;\left( { - 1} \right)^k } \right)\;\frac{{x^k }}{{k!}}} \cr}[/mm]
Der Term in der Klammer verschwindet genau dann, wenn k gerade ist,
demzufolge gilt:
[mm]\sinh (x)\; = \;\sum\limits_{l = 0}^\infty {\frac{{x^{2l + 1} }}{{\left( {2l + 1} \right)!}}} [/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Chlors |
Vielen Dank für deine Hilfe. Jetzt hab ich's verstanden :)
Liebe Grüße, Conny.
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hallo leute, ich habe genau die selbe frage gehabt, aber noch eine frage,
was ist mit dem [mm] e^{-x} [/mm] passiert ? sehe ich das richtig das du das in der zweiten summe ersetzt hast durch
[mm] e^{-x}= \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-x)^n}{x!} [/mm] ?
muesste da nicht irgendwas ala
[mm] e^{-x}= \summe_{i=1}^{n} \bruch{\bruch{1}{x^n}}{x!} [/mm] ?
oder wuerfele ich da nun wieder was durcheinander ( potenzgesetze ... )
desweiteren frage ich mich auch was mit der reihendarstellung von sinus ist,
vor allen dingen fragwe ich mich, was mit der komplexen potenz passiert
ich mache kurz mal wie ich mir das vorstelle
[mm] \sin(x)=\bruch{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2i}\left( \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{x^{ix}}{x!}- \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{x^{-ix}}{x!} \right)
[/mm]
ich mache erst einmal nicht weiter, sondern warte mal ab bis jemand was zu den negativen exponenten und zu der komplexen potenz ( seltsamer ausdruck ;) ) gesagt hat
aber ich denke mir ist noch nicht so ganz klar was mit der zahl e imkomplexen so alles fuer komplexe sachen passieren ...
danke im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:16 Di 08.03.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo ehrlichbemuehter!
> was ist mit dem [mm]e^{-x}[/mm] passiert ? sehe ich das richtig das
> du das in der zweiten summe ersetzt hast durch
>
>
> [mm]e^{-x}= \summe_{i=1}^{n} \bruch{(-x)^n}{x!}[/mm] ?
Das hat MathePower nicht geschrieben, im Nenner müßte i! stehen (bzw. bei MathePower steht k!, da das sein Summationsindex ist).
> muesste da nicht irgendwas ala
>
> [mm]e^{-x}= \summe_{i=1}^{n} \bruch{\bruch{1}{x^n}}{x!}[/mm] ?
Nein, einfach in die (richtige!) Formel statt "x" schreiben "-x", s.u.
> oder wuerfele ich da nun wieder was durcheinander (
> potenzgesetze ... )
Ja, du mußt einfach nur richtig einsetzen 
Es ist ja
[mm] $e^{\red{x}}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\red{x}^n}{n!}$
[/mm]
[mm] $e^{\red{-x}}$ [/mm] ist demzufolge:
[mm] $e^{\red{-x}}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{({\red{-x}})^n}{n!}$
[/mm]
> desweiteren frage ich mich auch was mit der
> reihendarstellung von sinus ist,
> vor allen dingen fragwe ich mich, was mit der komplexen
> potenz passiert
> ich mache kurz mal wie ich mir das vorstelle
>
> [mm]\sin(x)=\bruch{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2i}\left( \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{x^{ix}}{x!}- \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{x^{-ix}}{x!} \right)
[/mm]
Hier hast du auch falsch eingesetzt, und das sogar mehrfach!
Ich mache es mal für [mm] $e^{\red{ix}}$ [/mm] vor:
[mm] $e^{\red{ix}}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{({\red{ix}})^n}{n!}$
[/mm]
Wie du siehst:
- Die Potenz "n" bleibt in der Summe unverändert
- Der Nenner in der Summe bleibt ebenfalls n!, und wie nicht ersetzt!
So, ich hoffe, damit kommst du nun weiter, falls nicht: Wir haben 24h/7 Tage die Woche geöffnet!
Viele Grüße,
Marc
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oh, da habe ich natürlich alles durcheinander geworfen, wenigens weiss ich nun das die umwandlung in die reihendarstellung gar nicht sooo kompliziert ist, hehe, das ist naemlich ne klausuraufgabe, und in 2 wochen ist schon klausur, gut das ich das jetzt weiss, das heisst laehmlich das ich nicht die reihendarstelliung auswendig lerne, sondern den weg dahin ... ;) und dann kann cosh sinh sin und cos kommen ... und ich schaffs ... ;)))))))))) *hoffentlich*
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also das ergebniss kenne ich, nun versuche ich dieses ergebniss ( mit richtigen indizes ) mal herzuleiten :
[mm] \sin(x)=\bruch{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
[/mm]
so, das muesste ja noch stimmen ;)
nun ersetze ich alle e^irgendwas durch die reihendarstellung, bzw. die exponentialfunktion ....
= [mm] \bruch{\exp(ix)-\exp(-ix)}{2i}
[/mm]
nun ersetze ich exp durch die reihendarstellung, zur erinerung :
[mm] \exp(x)= \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}
[/mm]
also
[mm] =\bruch{\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ix^n}{n!} - \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-ix)^n}{n!}}{2i}
[/mm]
nun ziehe ich den nenner mal raus
[mm] =\bruch{1}{2i} \left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{ix^n}{n!} - \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-ix)^n}{n!}\right)
[/mm]
nun ziehe ich die -1 aus der letzten summe, und gehe analog vor wie du bei sinh/cosh ziehe ich am besten -1i raus ? ich denke ja oder ?
[mm] =\bruch{1}{2i} \left(\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(1i)^n x^n}{n!} - \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1i)^n(x)^n}{n!}\right)
[/mm]
sodale, wie ich sehe ist jetzt der hintere teil beider summen identisch ... ich versuche jetzt es analog wie bei der sinh aufgabe zu machen, mache es aber ohne sinn und verstand, ich hoffe das hat gueltigkeit !
aber die antwort kann ich mir eigentlich selber geben, da du ja bemerkt hast das [mm] 1-(-1)^n [/mm] bei jeder zweiten position aufhebt, kann ich wirklich schreiben :
[mm] =\bruch{1}{2i} \left(\summe_{n=1}^{\infty} (1i-(-1i)^n) \bruch{x^n}{n!}\right) [/mm]
FRAGE: ist es nun richtig zu schliessen das sich der imaginaerteil komplett aus der summe rauskuerzt ?
hier mal die ersten paar ergebnisse der potenzierung der imaginaeren zahl i und -i
( 0,1i ) ^ 1 = ( 0,1i )
( 0,-1i ) ^ 1 = ( 0,-1i )
= ( 0,2i )
--------------------------------------------------------------------------------
( 0,1i ) ^ 2 = ( -1,0i )
( 0,-1i ) ^ 2 = ( -1,0i )
= ( 0,0i )
--------------------------------------------------------------------------------
( 0,1i ) ^ 3 = ( 0,-1i )
( 0,-1i ) ^ 3 = ( 0,1i )
= ( 0,-2i )
--------------------------------------------------------------------------------
( 0,1i ) ^ 4 = ( 1,0i )
( 0,-1i ) ^ 4 = ( 1,0i )
= ( 0,0i )
--------------------------------------------------------------------------------
( 0,1i ) ^ 5 = ( 0,1i )
( 0,-1i ) ^ 5 = ( 0,-1i )
= ( 0,2i )
--------------------------------------------------------------------------------
( 0,1i ) ^ 6 = ( -1,0i )
( 0,-1i ) ^ 6 = ( -1,0i )
= ( 0,0i )
--------------------------------------------------------------------------------
( 0,1i ) ^ 7 = ( 0,-1i )
( 0,-1i ) ^ 7 = ( 0,1i )
= ( 0,-2i )
--------------------------------------------------------------------------------
( 0,1i ) ^ 8 = ( 1,0i )
( 0,-1i ) ^ 8 = ( 1,0i )
= ( 0,0i )
ich sehe daraus nun, das die beiden sich zwar bei geraden exponenten wegkuerzen, aber bei ungeraden existiert immer noch der vorzeichenwechsel, daher also die [mm] (-1)^n [/mm] im endergebnis ? aber was ist nun mit dem i passiert ?!?!?
also
[mm] =\bruch{1}{2i} \left(\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right) [/mm]
was mache ich nun mit der 1/2 vor der klammer ?
bzw. wie komme ich zu dem therm :
[mm] =\left(\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right) [/mm]
dieser therm ist naemlich in der letzten klausur als loesung angegeben ... ;(((
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wie ich ja schon gezeigt habe alterniert die sequenz
[mm] i^x-(-i)^x [/mm] so: 2i 0i -2i 0 2i ...
also ist wieder der selbe fall wie bei der sinush ausfgabe, dadurch faellt nun das 1/2 vor der klammer weg, und es wird zu 1,
eine letzte frage stellt sich mir nun noch, was ist mit dem i passiert ? welches ja in dem letzten therm garnicht mehr vorhanden ist ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Di 08.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie du richtig bemerkst bleiben nur die ungeraden Terme uebrig, abechselnd mit +2i und -2i. Du klammerst 2i aus und kuerzest mit dem 2i vor der Summe. bleibt nur das wechselnde Vorzeichen [mm] (-1)^{n}*x^{2n+1}
[/mm]
Gruss leduart
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gut, danke auch fuer die ausfuehrlichen erklaerungen, so habe ich es nun endgueltig gecheckt !!!!
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> Hallo,
>
> in dem man die Terme in den Summen zusammenfasst, kommt man
> zu einer Aussage, welche Reihenglieder letztendlich
> verschwinden:
>
> [mm]\displaylines{
\sinh (x)\; = \;\frac{{e^x \; - \;e^{ - x} }}{2} \cr
= \;\frac{1}{2}\;\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{x^k }}{{k!}}\; - \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( { - x} \right)^k }}{{k!}}} } } \right) \cr
= \;\frac{1}{2}\;\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{x^k }}{{k!}}\; - \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^k \;x^k }}{{k!}}} } } \right) \cr
= \;\frac{1}{2}\;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {1\; - \;\left( { - 1} \right)^k } \right)\;\frac{{x^k }}{{k!}}} \cr}[/mm]
>
>
>
> Der Term in der Klammer verschwindet genau dann, wenn k
> gerade ist,
> demzufolge gilt:
die frage die sich mir hier stellt, ist was passiert mit der 1/2 vor der klammer ? ist das schon enthalten in dem ergebnis ?
wenn sich doch jeder zweite therm auf 0 reduziert, muss doch trotzdem eine 1/2 irgendwo eingebaut werden oder ?
>
> [mm]\sinh (x)\; = \;\sum\limits_{l = 0}^\infty {\frac{{x^{2l + 1} }}{{\left( {2l + 1} \right)!}}}[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
>
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Hallo!
> > [mm]\displaylines{
\sinh (x)\; = \;\frac{{e^x \; - \;e^{ - x} }}{2} \cr
= \;\frac{1}{2}\;\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{x^k }}{{k!}}\; - \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( { - x} \right)^k }}{{k!}}} } } \right) \cr
= \;\frac{1}{2}\;\left( {\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{x^k }}{{k!}}\; - \;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{\left( { - 1} \right)^k \;x^k }}{{k!}}} } } \right) \cr
= \;\frac{1}{2}\;\sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {1\; - \;\left( { - 1} \right)^k } \right)\;\frac{{x^k }}{{k!}}} \cr}[/mm]
>
> >
> > Der Term in der Klammer verschwindet genau dann, wenn k
>
> > gerade ist,
> > demzufolge gilt:
>
> die frage die sich mir hier stellt, ist was passiert mit
> der 1/2 vor der klammer ? ist das schon enthalten in dem
> ergebnis ?
> wenn sich doch jeder zweite therm auf 0 reduziert, muss
> doch trotzdem eine 1/2 irgendwo eingebaut werden oder ?
>
Natürlich wird er das. Denn, wie bereits richtig bemerkt, verschwindet zwar pauschal gesprochen die Hälfte aller Terme (nämlich die, bei denen k gerade ist), aber was passiert denn für ungerades k? Dann ist [mm](-1)^k=-1[/mm], damit hätten wir dann eben innendrin im Summenzeichen [mm]1-(-1)^k=1-(-1)=2[/mm] stehen. Zusammen mit dem [mm]\frac{1}{2}[/mm] von vor dem Summenzeichen hebt sich das ja zu 1 weg, wodurch wir dann eben die folgende Reihe erhalten:
> > [mm]\sinh (x)\; = \;\sum\limits_{l = 0}^\infty {\frac{{x^{2l + 1} }}{{\left( {2l + 1} \right)!}}}[/mm]
>
(Anm.: Um sich die Reihe für den sinh besser merken zu können: Das ist genau dieselbe Reihe wie für den sinus, nur ohne Vorzeichenwechsel)
Gruß,
Christian
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