sinh < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ich versuche gerade zu beweisen das sinhx streng monoton wachsend und bijektiv ist.
Mein Anfang sieht wie folgt aus:
[mm]sinh x = \bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})[/mm]
[mm]\IR \to \IR[/mm]
Dann wollte ich zeigen: [mm]sinhx_1 < sinhx_2[/mm]
Jetzt hab ich beim abschätzen aber Probleme bekommen:
[mm]\bruch{e^x-e^{-x}}{2} < \bruch{e^x+e^{-x}}{2}[/mm]
Jetzt ist es zwar größer aber leider kein sinh mehr.
Dann hab ich mir gedacht ich könnt ja auch den Bruch wegnehmen:
[mm]\bruch{e^x-e^{-x}}{2} < e^x-e^{-x}[/mm]
aber auch hier komm ich beim letzten Schritt nicht weiter.
Und hier bekomm ich am Ende auf einmal 2sinh raus:
[mm]\bruch{e^x}{2} - \bruch{2}{e^x} < \bruch{e^x*e^x-2*2}{2e^x} = \bruch{2e^x-4}{2e^x} = 2sinhx[/mm]
Hat hier jemand vllt. noch einen anderen Ansatz?
Von der Bijektivität hab ich die Injektivität damit dann auch schon bewiesen, da ich ja gezeigt hab das sie stetig ist.
Grüße,
Mareike
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Hallo Mareike!
Verwende die Ableitung der Funktion und zeige, dass gilt: [mm] $\left[ \ \sinh(x) \ \right]' [/mm] \ > \ 0$ , um die Eigenschaft der strengen Monotonie zu belegen.
Gruß vom
Roadrunner
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Hi,
erstmal danke für deine schnelle Antwort. Ich hab jetzt:
[mm]\bruch{1}{2}(e^x+e^{-x}) = \bruch{1+1}{2} = 1 > 0[/mm]
Darf ich den einfach sagen, wenn ich das kleinste was aus der e-Funktion rauskommen kann einsetze und trotzdem noch über null bin müssen die anderen auch über null sein.
Und kann ich das auch verwenden, wenn ich beweisen will das [mm]x \mapsto cosh(x)[/mm][mm][0, \infty) \to [1, \infty)[/mm] streng monoton wächst?
Grüße,
Mareike
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nimm einfach [mm] e^x+e^{-x}=0.
[/mm]
Dann setzt du:
[mm] e^x=-e^{-x} [/mm]
Wenn du weist, dass [mm] e^x>0 [/mm] und [mm] e^{-x}>0 [/mm] gilt, ist das offensichtlich ein Widerspruch, d.h. es gibt keine Nullstellen. Aus den obigen Abschätzungen kannst du dann auch direkt sagen, dass sinh(x)'>0, also streng monoton steigend ist.
Deshalb ist der sinh dann insbesondere Umkehrbar.
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Di 22.01.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mareike!
Eine kleine Anmerkung zu Deiner Abschätzung. Du schätzt ja jeweils gegen $1_$ ab, was doch etwas gewagt ist (auch wenn es hier für $\cosh(x)$ stimmt).
$$\red{\cosh(x)} \ = \ \bruch{1}{2}*\left(e^x+e^{-x}\right) \ \red{>} \ \bruch{1}{2}*(0+0) \ = \ \red{0\$$
Für den exakten Wert $\cosh(x) \ \ge \ 1 \ \ \ \forall x \ \in\IR$ musst Du schon den Tiefpunkt berechnen.
Gruß vom
Roadrunner
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