sin und cos Teilräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:28 Do 20.01.2005 | | Autor: | i-n |
Hallo, es dreht sich um folgende Frage:
Sei [mm]V[/mm] der von [mm]\sin[/mm] und [mm]\cos[/mm] aufgespannte zweidimensionale Teilraum [mm]\cal D(\mathbb{R},\mathbb{R})[/mm], dem Raum der auf [mm]\mathbb{R}[/mm] differenzierbaren, reelwertigen Funktionen, und [mm]T:V\to V, f \mapsto \frac{d}{dx}f[/mm].
Zeigen Sie, dass [mm]T[/mm] eine lineare bijektive Abbildung ist und berechnen sie [mm]T^2 := T \circ T[/mm].
Leider weiß ich überhaupt nicht, wie man das anfangen soll, bzw. was man sich darunter vorzustellen hat. Es wäre schön, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Vielen Dank schon mal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Do 20.01.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
> Sei [mm]V[/mm] der von [mm]\sin[/mm] und [mm]\cos[/mm] aufgespannte zweidimensionale
> Teilraum [mm]\cal D(\mathbb{R},\mathbb{R})[/mm], dem Raum der auf
> [mm]\mathbb{R}[/mm] differenzierbaren, reelwertigen Funktionen, und
> [mm]T:V\to V, f \mapsto \frac{d}{dx}f[/mm].
> Zeigen Sie, dass [mm]T[/mm] eine lineare bijektive Abbildung ist und
> berechnen sie [mm]T^2 := T \circ T[/mm].
>
> Leider weiß ich überhaupt nicht, wie man das anfangen soll,
> bzw. was man sich darunter vorzustellen hat. Es wäre schön,
> wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Also, nur mal ganz kurz:
Die Abbildung T bildet eine Funktion einfach auf ihre Ableitung ab. Was eine lineare bijektive Abbildung ist, solltest du wissen oder ansonsten nachschlagen. Und [mm] t^2 [/mm] dürfte dann wohl die Ableitung von der Ableitung sein, also die zweite Ableitung. Was allerdings der erste Satz mit dem [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos [/mm] da soll, weiß ich leider nicht.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Do 20.01.2005 | | Autor: | i-n |
Also so weit war ich auch schon, das Problem ist nur, dass ich mit einem Teilraum, der von Funktionen aufgespannt wird (was [mm]\sin[/mm] und [mm]\cos[/mm] ja wohl sind) absolut nichts anfangen kann...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Do 20.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christiane,
> Hallo!
>
> > Sei [mm]V[/mm] der von [mm]\sin[/mm] und [mm]\cos[/mm] aufgespannte zweidimensionale
>
> > Teilraum [mm]\cal D(\mathbb{R},\mathbb{R})[/mm], dem Raum der auf
>
> > [mm]\mathbb{R}[/mm] differenzierbaren, reelwertigen Funktionen,
> und
> > [mm]T:V\to V, f \mapsto \frac{d}{dx}f[/mm].
> > Zeigen Sie, dass [mm]T[/mm] eine lineare bijektive Abbildung ist
> und
> > berechnen sie [mm]T^2 := T \circ T[/mm].
> >
> > Leider weiß ich überhaupt nicht, wie man das anfangen
> soll,
> > bzw. was man sich darunter vorzustellen hat. Es wäre
> schön,
> > wenn mir jemand dabei helfen könnte.
> Also, nur mal ganz kurz:
> Die Abbildung T bildet eine Funktion einfach auf ihre
> Ableitung ab. Was eine lineare bijektive Abbildung ist,
> solltest du wissen oder ansonsten nachschlagen. Und [mm]t^2[/mm]
> dürfte dann wohl die Ableitung von der Ableitung sein, also
> die zweite Ableitung. Was allerdings der erste Satz mit dem
> [mm]\sin[/mm] und [mm]\cos[/mm] da soll, weiß ich leider nicht.
Die Aufgabe ist, wenn das der Originaltext ist, vermutlich nur schlecht formuliert; ich denke, dass das so gemeint ist:
"Sei [mm]V[/mm] der von [mm]\sin[/mm] und [mm]\cos[/mm] aufgespannte zweidimensionale Teilraum von [mm]\cal D(\mathbb{R},\mathbb{R})[/mm] (wobei [mm]\cal D(\mathbb{R},\mathbb{R})[/mm] der Raum der auf [mm]\mathbb{R}[/mm] differenzierbaren, reelwertigen Funktionen ist) und [mm]T:V\to V, f \mapsto \frac{d}{dx}f[/mm]...."
Grob gesagt:
$V$ ist der Teilraum von [mm]\cal D(\mathbb{R},\mathbb{R})[/mm], indem sich jede Funktion als Linearkombination der Sinusfunktion und der Cosinusfunktion darstellen läßt. Dass das tatsächlich ein Teilraum von [mm]\cal D(\mathbb{R},\mathbb{R})[/mm] ist, ist ziemlich klar. Aber man sollte vielleicht doch kurz drüber nachdenken, wenn man die Aufgabe löst; denn das ist eine (versteckte) Behauptung...
Liebe Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Do 20.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo i-n,
jede Funktion $f [mm] \in [/mm] V$ läßt sich darstellen durch:
[mm] $f=\mu [/mm] * [mm] \sin+\nu [/mm] * cos$ (edit:mit eindeutig bestimmten [mm] $\mu, \nu \in \IR$).
[/mm]
Dann folgt für (beliebige, aber feste) [mm] $f_1,f_2 \in [/mm] V$:
[m]\exists_{\red{1}}\; \mu_1,\nu_1, \mu_2,\nu_2 \in \IR[/m] mit:
[m]f_1=\mu_1 * \sin+\nu_1 * cos[/m] und [m]f_2=\mu_2 * \sin+\nu_2 * cos[/m].
(Hierbei: [m]\sin: \IR \to \IR[/m], $x [mm] \mapsto \sin(x)$;[/mm] [m]\cos: \IR \to \IR[/m], $x [mm] \mapsto \cos(x)$)
[/mm]
Berechne nun mal [mm] $T(f_1+f_2)$. [/mm] Was erhältst du?
Berechne nun mal [mm] $T(\alpha*f_1)$ ($\alpha \in \IR$ [/mm] bel., aber fest). Was erhältst du?
(Bemerkung: Die Ableitung des [mm] $\sin$ [/mm] bzw. des [mm] $\cos$ [/mm] sollte bekannt sein...)
Wenn du das alles fehlerfrei hast, hast du die Linearität von $T$. Die Bijektivität kannst du dir dann auch leicht überlegen:
$T$ ist eine lineare Abbildung von $V$ nach $V$ und bildet eine Basis auf eine Basis ab. Reicht das als Hinweis?
Vielleicht bekommst du nun ja auch [mm] $T^2$ [/mm] alleine berechnet?
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Do 20.01.2005 | | Autor: | i-n |
Danke schön, dass hilft mir hoffentlich weiter.
Ich werde mich noch mal daransetzen und dann meine Lösung hier posten.
P.S. Die Aufgabe ist übrigens so vom Prof in den Raum geworfen worden, habe da nichts verändert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Do 20.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo i-n,
> Danke schön, dass hilft mir hoffentlich weiter.
> Ich werde mich noch mal daransetzen und dann meine Lösung
> hier posten.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich habe meine Antwort übrigens noch etwas editiert. Aber nur zur Ergänzung...
(Das hier: [mm] $\exists_{\red{1}}\; \mu_1,\nu_1, \mu_2,\nu_2 \in \IR [/mm] $ heißt übrigens, dass die [mm] $\mu_1,\nu_1, \mu_2,\nu_2 \in \IR$ [/mm] eindeutig bestimmt sind! Das Symbol [mm] $\exists_1$ [/mm] bedeutet: "Es existiert genau ein...". Manchmal schreibt man dafür auch [mm] $\exists!$.)
[/mm]
> P.S. Die Aufgabe ist übrigens so vom Prof in den Raum
> geworfen worden, habe da nichts verändert.
Naja, etwas unglücklich formuliert. Aber nun gut... 
Liebe Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Do 27.01.2005 | | Autor: | i-n |
So, ich habe mich hingehockt und habe folgendes raus:
Sei [mm]V:=<\sin,\cos>\subseteq\cal D (\mathbb{R},\mathbb{R})[/mm] und [mm] T:V\rightarrow V,f\mapsto\frac{d}{dx}f[/mm]
Behauptung: [mm]T[/mm] ist linear und bijektiv.
Beweis: Wir prüfen zunächst nach, ob [mm]T[/mm] wohldefiniert ist [mm](T(V)\subseteq V)[/mm]. Sei also [mm]f\in V[/mm]. Dann findet man [mm]\alpha, \beta\in\mathbb{R}[/mm] mit [mm]f=\alpha\sin+\beta\cos[/mm].
Es folgt: [mm]T(f)=\frac{d}{dx}(\alpha\sin+\beta\cos)=\alpha\cos-\beta\sin\in V[/mm].
Wir zeigen: [mm]T[/mm] surjektiv: Sei also [mm]f\in V[/mm]. Also findet man [mm]\alpha,\beta\in\mathbb{R}\mbox{ mit } f=\alpha\sin+\beta\cos[/mm]
Setze [mm]g:=\beta\sin-\alpha\cos\in V[/mm].
Dann folgt: [mm]T(g)=\frac{d}{dx}(\beta\sin-\alpha\cos)=\beta\cos+\alpha\sin=f.[/mm]
Die Injektivität von [mm]T[/mm] folgt aus der Endlichdimensionalität von [mm]V[/mm].
Behauptung: [mm]T\circ T=id_v[/mm]
Beweis: Sei [mm]f=\alpha\sin+\beta\cos\in V[/mm]. Dann gilt: [mm](T\circ T)(f)=T(T(f))=T\left(\frac{d}{dx}(\alpha\sin+\beta\cos)\right)=T(\alpha\cos-\beta\sin)=\frac{d}{dx}(\alpha\cos-\beta\sin)=-\alpha\sin-\beta\cos=-f.[/mm]
Es wäre schön, wenn jemand das mal überprüfen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Do 27.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Florian!
Zunächst eine Bitte: Kennzeichne deine Lösung das nächste mal bitte als Frage (nicht als Mitteilung). Andernfalls wird sie evtl. übersehen!
> So, ich habe mich hingehockt und habe folgendes raus:
>
> Sei [mm]V:=<\sin,\cos>\subseteq\cal D (\mathbb{R},\mathbb{R})[/mm]
> und [mm]T:V\rightarrow V,f\mapsto\frac{d}{dx}f[/mm]
>
> Behauptung: [mm]T[/mm] ist linear und bijektiv.
>
> Beweis: Wir prüfen zunächst nach, ob [mm]T[/mm] wohldefiniert ist
> [mm](T(V)\subseteq V)[/mm]. Sei also [mm]f\in V[/mm]. Dann findet man
(eindeutig bestimmte)
> [mm]\alpha, \beta\in\mathbb{R}[/mm]
> mit [mm]f=\alpha\sin+\beta\cos[/mm].
> Es folgt:
> [mm]T(f)=\frac{d}{dx}(\alpha\sin+\beta\cos)=\alpha\cos-\beta\sin\in V[/mm].
(Einschub: Was ist mit der Linearität von $T$? Die solltest du natürlich (an dieser Stelle) hier auch nachrechnen. Ich sehe die zugehörige Rechnung nirgends?! Rechne bitte die Linearität von $T$ nach, andernfalls sind die nachfolgenden Argumente (auch meine) nicht griffig. Denn wir können ja nur Aussagen über lineare Abbildungen auf $T$ anwenden, wenn wir die Linearität von $T$ nachgewiesen haben! Oder hast du das nachgerechnet, und bist dir so sicher, dass du keine Kontrolle dafür benötigst?)
> Wir zeigen: [mm]T[/mm] surjektiv: Sei also [mm]f\in V[/mm]. Also findet man
(eindeutig bestimmte)
> [mm]\alpha,\beta\in\mathbb{R}\mbox{ mit } f=\alpha\sin+\beta\cos[/mm]
>
> Setze [mm]g:=\beta\sin-\alpha\cos\in V[/mm].
> Dann folgt:
> [mm]T(g)=\frac{d}{dx}(\beta\sin-\alpha\cos)=\beta\cos+\alpha\sin=f.[/mm]
(Also ist $T$ surjektiv!)
> Die Injektivität von [mm]T[/mm] folgt aus der
> Endlichdimensionalität von [mm]V[/mm].
Ähm, da solltest du genauer argumentieren. Es gibt einen Satz, auf den man verweisen kann, wo sofort wegen der Endlichdimensionalität von $V$ (hier ist ja [mm] $\dim(V)=2$) [/mm] die Injektivität von [mm] $T:\;V \to [/mm] V$ aus der Surjektivität von $T$ folgt. Andernfalls kannst du auch so argumentieren (der Beweis zu dem Satz geht auch, glaube ich, genau so...):
Nach der ![[]](/images/popup.gif) Dimensionsformel (Satz 4.1.6, S.58 (skriptinterne Zählung)) folgt (da hier wegen der Surjektivität von $T$ [mm] $\dim [/mm] Bild [mm] (T)=\dim [/mm] V=2$ gilt), dass [mm] $\dim [/mm] Ker(T)=0$ ist und daher [mm] $Ker(T)=\{0\}$. [/mm] Daraus folgt (nach Satz 4.1.2, S. 56 (skr.-int. Zählung)) die Injektivität von $T$.
> Behauptung: [mm]T\circ T=id_v[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
(Besser: [mm]T\circ T=\red{-}id_v[/mm]. Warum? Guck dir mal deinen eigenen Beweis an! )
> Beweis: Sei
> [mm]f=\alpha\sin+\beta\cos\in V[/mm]. Dann gilt: [mm](T\circ T)(f)=T(T(f))=T\left(\frac{d}{dx}(\alpha\sin+\beta\cos)\right)=T(\alpha\cos-\beta\sin)=\frac{d}{dx}(\alpha\cos-\beta\sin)=-\alpha \sin-\beta\cos=-f.[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
