sin(1/x) lebesgue- int.-bar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:25 Fr 03.07.2009 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | | Ist die Funktion f: (0,1] --> [mm] \IR [/mm] := sin (1/x), Lebesgue- bzw. uneigentlich Riemann- integrierbar über (0,1]? |
Hallo an Alle,
kann mir mal jemand bitte helfen?
Meine Überlegungen:
Es muss gelten:
- [mm] \infty [/mm] < [mm] \integral_{*}^{}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{*}{f(x) dx}< \infty
[/mm]
Ist sin(1/x) beschränkt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow von oben 0} [/mm] f(x) = [mm] \infty
[/mm]
Damit ist f unbeschränkt und daraus resultierend auf keinen Fall eigentlich Riemann- int.-bar!
Ist f uneigentlich Rimann- int.-bar bzw. Lebesgue- int.-bar:
für jedes Teilintervall [mm] [\epsilon [/mm] , 1] mit 0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1
[mm] \limes_{\epsilon\rightarrowvon oben 0} \integral_{\epsilon}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \limes_{\epsilon\rightarrowvon oben 0} [/mm] [sin(1) - [mm] c_{i}(1) [/mm] - [mm] (sin(1/\epsilon) [/mm] - [mm] c_{i} (1/\epsilon))] [/mm] = 0,5040670619 > 1/2
mittels Maple Stammfunktion berechnet und dann Limes ausgerechnet.
damit ist f uneigentlich Riemann- int.-bar und dementsprechend Lebesgue- int.-bar
zusätzlich ist (0,1] eine Menge endlichen Maßes, damit ist nun die Funktion f(x) darauf Lebesgue- int. -bar
Oder habe ich irgendwas falsch gemacht?
Mit freundlichen Grüßen
Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 07.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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