sin^-1 rechnerisch? < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hab da mal eine Frage..
Ich wurde da letztens mit einer recht einfachen Aufgabe konfrontiert, die eigentlich keine Probleme darstellt, und zwar:
Gegeben sei sin(Alpha)=-0,7894 [oder ein anderer Wert... ist ja auch egal]
Nun soll man fünf Argumente bestimmen, die für Alpha in Frage kommen..
Sicherlich könnte man jetzt mit dem Taschenrechner sin^-1(-0,7894) berechnen oder das ganze zeichnerisch - dafür aber nur ungenau - lösen, aber, jetzt meine Frage: Kann man den sin^-1 auch rechnerisch bestimmen??
Gibt es da irgendwelche Formeln für? Also mir ist da keine bekannt.
Danke schonmal für eure Antworten!!
Grüße!
André
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Di 08.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo André!
Nein, der Sinn solcher Aufgaben ist der, dass ihr eine Lösung mit dem Taschenrechner ermittelt (das geht i.A. auch nicht anders, außer bei typischen Sinuswerten, die man auswendig kennen sollte) und euch alle weiteren Lösungen mit Hilfe von Symmetrieüberlegungen (etwa [mm] $\sin(-x) [/mm] = [mm] -\sin(x)$) [/mm] oder periodischen Beziehungen (etwa [mm] $\sin(x) [/mm] = [mm] \sin(x+2\pi)$) [/mm] erschließt.
Dazu malst du dir am besten einen Einheitskreis auf und kannst dir diese Beziehungen wunderbar geometrisch-anschaulich herleiten. (Denn der Sinus des Winkels ist dann ja immer die Länge der Gegenkathete des Winkels (Vorzeichen beachten!), da die Hypotenuse immer gleich $1$ ist).
Liebe Grüße
Stefan
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Hi, Andre,
naja: der Sinus ist ja eine periodische Funktion.
Das bedeutet, dass sich die Lösungen schon mal "mit Vielfachen von [mm] 2\pi [/mm] wiederholen". Wenn Du also eine Lösung hast - ich nenn' sie mal Dein Beispiel betreffend - [mm] x_{o}=arcsin(-0,7894) \approx [/mm] -0,91, dann findest Du weitere Lösungen mit:
x= [mm] x_{o}+2k*\pi [/mm] (wobei k eine beliebige ganze Zahl ist).
Das ist aber auch nur "die Hälfte der Wahrheit", weil Du - und das geht nur mit Hilfe einer Skizze - leicht einsiehst, dass es Lösungen gibt, die Du mit obiger "Formel" nicht erwischt, z.B.:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] \pi-x_{o} \approx [/mm] 4,05
woraus Du die restlichen Lösungen mit x= [mm] x_{1}+2k*\pi [/mm] errechnen kannst!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Di 08.03.2005 | | Autor: | Andre_k11 |
Vielen Dank für die raschen Antworten!
Ja, das mit dem Einheitskreis meinte ich auch mich "zeichnen"... so kann man sich dem Argument nähern...ja!
Und ja, dass sich das alles periodisch wiederholt (Bestimmung der anderen Argumente) war mir auch klar.
Na gut, dann hat sich ja meine Vermutung bestätigt! :) Also ohne Taschenrechner keine genaue Bestimmung von sin^-1(x).. Danke!
Gruß!
André
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 Mi 09.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Andre,
wobei Du mit der Aussage "genaue Bestimmung" beim Taschenrechner ja eigentlich auch vorsichtig sein musst, denn der gibt ja oft auch dann keine "genauen" Werte an, wenn dies möglich wäre.
Beispiele: arcsin(0,5) = [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] (exakt!), Taschenrechner: 0,5235987
[mm] arcsin(0,5\wurzel{2}) [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] (exakt!), Taschenrechner: 0,7853981
usw.
mfG!
Zwerglein
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