signumfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 So 12.07.2009 | | Autor: | equity |
| Aufgabe | Untersuchen sie die Funktion auf Stetigkeit.
[mm] $sign(x)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } x>0 \\ 0 & \mbox{für } x=0\\ -1 & \mbox{für } x<0 \end{cases}$ [/mm] |
Hallo :)
Zu allererst wollte ich gern ersteinmal wissen, was sign(x) für eine Funktion ist.
Die Lösung zu dieser Aufgabe habe ich auch, aber ich verstehe sie nicht so ganz.
Lösung:
f ist nicht stetig im Punkt 0, da [mm] \lim_{n \to \infty}f(\frac{1}{n})=1\not=(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n})= [/mm] f(0)= 0
Was hat man hier gemacht und woran erkenne ich, dass sie im Punkt 0 nicht stetig ist?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 So 12.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen sie die Funktion auf Stetigkeit.
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> [mm]sign(x)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } x>0 \\ 0 & \mbox{für } x=0\\ -1 & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
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> Hallo :)
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> Zu allererst wollte ich gern ersteinmal wissen, was sign(x)
> für eine Funktion ist.
> Die Lösung zu dieser Aufgabe habe ich auch, aber ich
> verstehe sie nicht so ganz.
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> Lösung:
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> f ist nicht stetig im Punkt 0, da [mm]\lim_{n \to \infty}f(\frac{1}{n})=1\not=(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n})=[/mm]
> f(0)= 0
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> Was hat man hier gemacht und woran erkenne ich, dass sie im
> Punkt 0 nicht stetig ist?
Hallo,
man nähert sich in "ausgewählten Schnitten" (hier konkret in den Schritten 1, 1/3, 1/3, 1/4,... ) an die Stelle 0 an und betrachtet den Grenzwert dieser Annäherung. Da für JEDE positive Zahl der Funktionswert sign(x) als 1 definiert ist, ist dieser Grenzwert also 1.
Der Funktionswert an der Stelle 0 ist aber nicht 1, sondern als 0 definiert.
Da Grenzwert für die Stelle 0 (in dem Fall rechtsseitiger Grenzwert) und Funktionswert an der Stelle 0 nicht übereinstimmen, ist die Funktion dort nicht stetig.
Gruß Abakus
>
> LG
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Hallo equity,
> Untersuchen sie die Funktion auf Stetigkeit.
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> [mm]sign(x)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } x>0 \\ 0 & \mbox{für } x=0\\ -1 & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
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> Hallo :)
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> Zu allererst wollte ich gern ersteinmal wissen, was sign(x)
> für eine Funktion ist.
Man nennt sie die "Vorzeichen-Funktion" ("signum"), weil sie nur vom Vorzeichen von x abhängt.
Die genaue Definition ist das, was du oben geschrieben hast.
Interessant ist die Stelle 0, weil dort der Graph einen Sprung macht, also "nicht durchzuzeichnen" ist und damit nicht stetig.
> Die Lösung zu dieser Aufgabe habe ich auch, aber ich
> verstehe sie nicht so ganz.
>
> Lösung:
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> f ist nicht stetig im Punkt 0, da [mm]\lim_{n \to \infty}f(\frac{1}{n})=1\not=(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n})=[/mm]
> f(0)= 0
das muss wohl: $ [mm] \lim_{n \to \infty}f(\frac{1}{n})=1\not=f(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n})= [/mm] f(0)= 0 $ heißen...
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> Was hat man hier gemacht und woran erkenne ich, dass sie im
> Punkt 0 nicht stetig ist?
>
> LG
Gruß informix
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