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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Do 28.10.2010 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Es sei X eine überabzählbare Menge,
[mm] \mathcal{A} [/mm] := { A [mm] \subset [/mm] X | A ist abzählbar oder [mm] A^c [/mm] ist abzählbar }
Man zeige:
1. [mm] \mathcal{A} [/mm] ist eine [mm] \sigma [/mm] -algebra
2. Die folgende Abbildung [mm] \mu [/mm] : [mm] \mathcal{A} \to \IR [/mm] definiert ein Maß
[mm] \mu [/mm] (A) = 0, wenn A abzählbar ist
1, wenn [mm] A^c [/mm] abzählbar ist |
hi zusammen,
habe bezüglich der aufgabe einige schwierigkeiten. für eine [mm] \sigma [/mm] -algebra muss gelten
(i) X [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
(ii) A [mm] \in \mathcal{A} [/mm] => [mm] A^c [/mm] := X \ A [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
(iii) [mm] \mathcal{A} [/mm] ist [mm] \sigma [/mm] - [mm] \cup [/mm] -stabil
wenn die mengen explizit angegeben sind ist es kein thema, aber bei sowas hier komm ich ins straucheln, da ich nicht weiß wie man hier die 3 bedingungen prüfen soll :(
wäre nett wenn mir jemand nen tipp geben könnte wie ich an die aufgabe ran muss.
lg
meep
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Huhu,
na i) sollte doch kein Problem sein.
Ist denn $X [mm] \in \mathcal{A}$ [/mm] ? Was musst du denn gelten damit X da drin liegt? Gilt das?
ii) ist letztlich auch trivial.... Wenn A drinliegt, was gilt denn dann für A? Und was gilt dann für [mm] A^c [/mm] ?
iii) Hier wirds schon problematischer, mache eine Fallunterscheidung.
1.) Alle [mm] A_j [/mm] abzählbar
2.) Es gibt ein [mm] A_j, [/mm] dass überabzählbar ist, was weisst du dann über [mm] (A_j)^c [/mm] ?
Betrachte nun das Komplement [mm] \left(\bigcup_{j=1}^{\infty}A_j\right)^c
[/mm]
Kannst du zwischen dem und [mm] (A_j)^c [/mm] eine Verbindung herstellen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Fr 29.10.2010 | | Autor: | meep |
hi gono danke für die antwort aber ich hab folgenden hänger,
nehmen wir mal zum beispiel an X = {1,2} und dann is [mm] \mathcal{P}(X)= [/mm] {{1,2},{1},{2}, [mm] \emptyset [/mm] }
nun is ja [mm] \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X) [/mm] und da nehm ich mir mal z.B. 2 Mengen raus und sag dann [mm] \mathcal{A} [/mm] = {{1}, [mm] \emptyset [/mm] } da sieht man dann doch dass X [mm] \not\in \mathcal{A} [/mm] ist, wie kann dann meine behauptung oben richtig sein.
ich raffs nicht :(
lg
meep
wäre nett wenn mir jemand helfen könnte was das angeht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:12 Fr 29.10.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo meep,
| 1: | > nehmen wir mal zum beispiel an X = {1,2} und dann is
| | 2: | > [mm]\mathcal{P}(X)=[/mm] {{1,2},{1},{2}, [mm]\emptyset[/mm] }
| | 3: | >
| | 4: | > nun is ja [mm]\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X)[/mm] und da nehm
| | 5: | > ich mir mal z.B. 2 Mengen raus und sag dann [mm]\mathcal{A}[/mm] =
| | 6: | > {{1}, [mm]\emptyset[/mm] } da sieht man dann doch dass X [mm]\not\in \mathcal{A}[/mm]
| | 7: | > ist, wie kann dann meine behauptung oben richtig sein. |
Die Behauptung ist dann eben für dein [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] falsch; für [mm] $X=\{1,2\}$ [/mm] ist [mm] $\mathcal{A}:=\{\{1\},\emptyset\}$ [/mm] keine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] (eben weil [mm] $X\not\in\mathcal{A}$).
[/mm]
In deiner Aufgabe ist $X$ eine überabzählbare Menge.
Weiterhin ist [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] (von dem wir noch nicht wissen, ob es sich um eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] handelt) definiert als die Menge aller Teilmengen von $X$, die selbst abzählbar sind oder deren Komplement abzählbar ist.
Um zu entscheiden, ob [mm] $X\in\mathcal{A}$, [/mm] musst du dich also fragen: Ist $X$ abzählbar oder [mm] $X^C$ [/mm] abzählbar?
Falls ja, dann [mm] $X\in\mathcal{A}$, [/mm] falls nein, dann [mm] $X\not\in\mathcal{A}$ [/mm] (und [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] kann keine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] sein).
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 Fr 29.10.2010 | | Autor: | meep |
edit: sollte keine mitteilung werden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:30 Fr 29.10.2010 | | Autor: | meep |
hi marc, danke erstmal.
nun verwirrt mich einiges an folgender aussage von dir
> Um zu entscheiden, ob [mm]X\in\mathcal{A}[/mm], musst du dich also
> fragen: Ist [mm]X[/mm] abzählbar oder [mm]X^C[/mm] abzählbar?
> Falls ja, dann [mm]X\in\mathcal{A}[/mm], falls nein, dann
> [mm]X\not\in\mathcal{A}[/mm] (und [mm]\mathcal{A}[/mm] kann keine
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra sein).
Laut der Aussage oben müsste ja eigentlich X abzählbar sein, sonst würde die Aufgabe keinen Sinn machen. Aber oben ist X als überabzählbar definiert.
lg
meep
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Hallo meep,
> hi marc, danke erstmal.
>
> nun verwirrt mich einiges an folgender aussage von dir
>
> > Um zu entscheiden, ob [mm]X\in\mathcal{A}[/mm], musst du dich also
> > fragen: Ist [mm]X[/mm] abzählbar oder [mm]X^C[/mm] abzählbar?
> > Falls ja, dann [mm]X\in\mathcal{A}[/mm], falls nein, dann
> > [mm]X\not\in\mathcal{A}[/mm] (und [mm]\mathcal{A}[/mm] kann keine
> > [mm]\sigma[/mm]-Algebra sein).
>
> Laut der Aussage oben müsste ja eigentlich X abzählbar
> sein, sonst würde die Aufgabe keinen Sinn machen.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Marc hat doch geschrieben (und so stehts in der Aufgabe), dass [mm]X\in\mathcal{A}[/mm], falls [mm]X[/mm] abzählbar oder [mm]X^C[/mm] abzählbar.
> Aber oben ist X als überabzählbar definiert.
Jo, was ist dann mit [mm]X^C[/mm] ?? Ist das abzählbar oder überabzählbar?
>
> lg
>
> meep
>
Gruß
schachuzipus
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