sigma Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Sa 28.04.2012 | | Autor: | pyw |
| Aufgabe | | Sei M eine Menge und [mm] \mathcal{A} [/mm] die von M erzeugte [mm] \sigma [/mm] Algebra. Weiterhin sei [mm] X\in\mathcal{A}. [/mm] Man zeige die Existenz eines höchstens abzählbaren Systems [mm] $M_X=\{M_n, n\in\IN\}\subset [/mm] M$ mit [mm] $X\in\sigma(M_X)$ [/mm] |
Hallo,
ich habe leider keinen Ansatz, weil ich mir das alles nicht so richtig vorstellen kann -.-. Ich wäre für jeden Denkanstoß auf jeden Fall sehr dankbar!
mfG,
pyw
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pyw,
> ich habe leider keinen Ansatz, weil ich mir das alles nicht
> so richtig vorstellen kann -.-.
Stell dir $M$ als sehr groß vor. Dann wird für abzählbare Teilmengen [mm] $M'\subseteq [/mm] M$ die erzeugte Sigma-Algebra [mm] $\sigma(M')$ [/mm] eine (typischerweise kleine) Teilmenge von [mm] $\sigma(M)$ [/mm] sein. Die Aufgabe behauptet nun, dass jedes Element [mm] $X\in\sigma(M)$ [/mm] schon in einer der kleinen Sigma-Algebren [mm] $\sigma(M')$ [/mm] (für ein abzählbares [mm] $M'\subseteq [/mm] M$) liegt.
> Ich wäre für jeden
> Denkanstoß auf jeden Fall sehr dankbar!
Sei [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] die Vereinigung der kleinen Sigma-Algebren [mm] $\sigma(M')$, [/mm] also
[mm] $\mathcal{B}:=\bigcup_{\substack{M'\subseteq M\\ \operatorname{abz"ahlbar}}}\sigma(M')$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\mathcal{B}\supseteq\sigma(M)$.
[/mm]
Zeige dazu, dass [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] eine Sigma-Algebra mit [mm] $\mathcal{B}\supseteq [/mm] M$ ist.
Viele Grüße
Tobias
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