sigma Algebra < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 So 14.02.2010 | | Autor: | moerni |
Hallo,
Ich versuche gerade zu verstehen, was eine sigma-Algebra ist. Dazu habe ich mir selbst ein Beispiel überlegt:
Sei [mm] X=\{1,2,3\}. [/mm] Dann ist [mm] P(X)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}. [/mm] Wenn ich jetzt eine sigma Algebra A konstruieren will muss ich ja beachten:
(i) [mm] \emptyset \in [/mm] A
(ii) [mm] \forall [/mm] M [mm] \in [/mm] A: [mm] A^c=\{x \in X: x \not \in M\} \in [/mm] A
(iii) Für [mm] A_n \in [/mm] A: [mm] \bigcup_{n \in \mathbb N} A_n \in [/mm] A
Ich setze für A einfach mal an: [mm] A=\{\emptyset, \{1\}\}. [/mm] Dann muss ja wegen (ii) auch [mm] \{2\},\{3\} [/mm] in A sein. Wegen (iii) müsste dann ja auch [mm] \{1,2,3\}, \{1,2\}, \{2,3\},\{1,3\} [/mm] drin sein. Jetzt hab ich aber wieder die Potenzmenge. gut, die Potenzmenge ist immer eine sigma-Algebra, aber ich möchte eine kleinste sigma-Algebra konstruieren, die 1 enthält. Wo liegt in meiner obigen Begründung der Fehler?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar.
lg moerni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:22 So 14.02.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo moerni!
> Ich versuche gerade zu verstehen, was eine sigma-Algebra
> ist. Dazu habe ich mir selbst ein Beispiel überlegt:
> Sei [mm]X=\{1,2,3\}.[/mm] Dann ist
> [mm]P(X)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}.[/mm]
> Wenn ich jetzt eine sigma Algebra A konstruieren will muss
> ich ja beachten:
> (i) [mm]\emptyset \in[/mm] A
> (ii) [mm]\forall[/mm] M [mm]\in[/mm] A: [mm]A^c=\{x \in X: x \not \in M\} \in[/mm] A
> (iii) Für [mm]A_n \in[/mm] A: [mm]\bigcup_{n \in \mathbb N} A_n \in[/mm] A
> Ich setze für A einfach mal an: [mm]A=\{\emptyset, \{1\}\}.[/mm]
> Dann muss ja wegen (ii) auch [mm]\{2\},\{3\}[/mm] in A sein.
Das ist nicht richtig. Es muss das Komplement der leeren Menge, also X selbst, und das Komplement der Menge [mm] $\{1\}$, [/mm] also [mm] $\{2,3\}$ [/mm] enthalten sein.
Du bekommst dann die Algebra [mm] $\{\emptyset,\{1\},\{2,3\},X\}$
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
