www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - sigma-algebra
sigma-algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

sigma-algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:55 Do 10.12.2009
Autor: Unk

Aufgabe
Sei [mm] \Omega\neq \emptyset [/mm] und A eine Familie von Teilmengen von [mm] \Omega. [/mm] Sei M beliebig, aber fest gewählt mit [mm] M\subset \Omega. [/mm]
Sei [mm] C_{M}=\{M\cap B:B\in A\}. [/mm]
(i) Zeige: [mm] C_M [/mm] ist eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf M.

(ii) Nun sei [mm] M\in [/mm] A. Beweisen Sie dann die folgende Charakterisierung von [mm] C_M: [/mm]
[mm] C_{M}=\{E\in A:E\subset M\}. [/mm]

Hallo,

zum ersten Teil:
ich muss zeigen: [mm] M\in C_M. [/mm] Dies folgt, wenn [mm] B=\Omega [/mm] gewählt wird, denn dann ist [mm] M\cap \Omega=M [/mm] und [mm] \Omega [/mm] ist in A, weil das ja eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] ist.

Weiterhin hab ich schon gezeigt: [mm] C_1, C_2,...\in C_M\Rightarrow \bigcup_{i=1}^{\infty}C_{i}\in C_{M}, [/mm] nämlich folgendermaßen:
Sei [mm] C_i=M\cap B_i. [/mm] Dann gilt:
[mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}C_{i}=\bigcup_{i=1}^{\infty}(M\cap B_{i})=M\cap\bigcup_{i=1}^{\infty}B_{i} [/mm]
Und da [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty}B_{i}\in [/mm] A folgt [mm] \Rightarrow\bigcup_{i=1}^{\infty}C_{i}\in C_{M}. [/mm]

Stimmt das bisher so oder muss man was anders machen?

Dann muss ich noch zeigen: [mm] C\in C_M\Rightarrow C^C\in [/mm] M, womit ich noch so meine Probleme habe. Sei [mm] C=M\cap [/mm] B. Dann gilt [mm] C^C=M^C\cup B^C. [/mm] Aber das ist ja nicht in der Form [mm] M\cap [/mm] X. Was ich aber weiß, dass [mm] B^C\in [/mm] A ist, wenn [mm] B\in [/mm] A ist. Aber wie muss man das hier richtig formulieren.

Zu (ii).
Was muss ich hier eigtl genau machen? Wieder zeigen, dass das neu definierte [mm] C_M [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist? Oder einfach nur, dass das [mm] C_M [/mm] aus (i) gleich dem [mm] C_M [/mm] aus (ii) ist?

Wenn ich wieder zeigen soll, dass es eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist, habe ich wieder Probleme zu zeigen, dass wenn [mm] C\in C_M [/mm] folgt, dass [mm] C^C\in C_M [/mm] (wie bei (i) auch).

Gruß Unk

        
Bezug
sigma-algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:44 Fr 11.12.2009
Autor: pelzig

>[...]
> Stimmt das bisher so oder muss man was anders machen?

Sieht gut aus!

> Dann muss ich noch zeigen: [mm]C\in C_M\Rightarrow C^C\in[/mm] M,
> womit ich noch so meine Probleme habe. Sei [mm]C=M\cap[/mm] B. Dann
> gilt [mm]C^C=M^C\cup B^C.[/mm] Aber das ist ja nicht in der Form
> [mm]M\cap[/mm] X.

Ja, du hast einen kleinen Denkfehler. Was du eigentlich zeigen musst, ist dass für [mm] $C\in C_M$ [/mm] auch das Komplement bzgl. M wieder in [mm] $C_M$ [/mm] ist, d.h. du musst zeigen [mm] $C\in C_M\Rightarrow M\setminus C\in C_M$. [/mm] Und tatsächlich: ist [mm]C=M\cap B[/mm], so folgt [mm] (nachrechnen!)$$M\setminus C=M\cap(\Omega\setminus [/mm] B)$$ und [mm]\Omega\setminus B[/mm] ist in A, also hat [mm]M\setminus C[/mm] die Form [mm]M\cap B[/mm] für ein [mm]B\in A[/mm] und daher [mm] $M\setminus C\in C_M$. [/mm]

> Zu (ii). Was muss ich hier eigtl genau machen? Wieder zeigen, dass
> das neu definierte [mm]C_M[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist? Oder
> einfach nur, dass das [mm]C_M[/mm] aus (i) gleich dem [mm]C_M[/mm] aus (ii)
> ist?

Letzteres. Um es ganz präzise zu sagen: In (i) wird definiert was das Symbol [mm] $C_M$ [/mm] bedeuten soll, eigentlich hätte man schreiben sollen [mm] $C_M:=\{M\cap B\mid B\in A\}$. [/mm] Und in (ii) wird behauptet: "Wenn [mm]M\in A[/mm] ist, dann gilt [mm] $C_M=\{E\in A\mid E\subset M\}$ [/mm] - und das sollst du beweisen.

Gruß, Robert

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]