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| Aufgabe | Für jedes i [mm] \in [/mm] I sei [mm] \A_{i} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega, [/mm] wobei I [mm] \not= \emptyset [/mm] eine Indexmenge sei. Zeigen sie, dass somit auch :
[mm] A:=\bigcap_{i \in I}^{}\A_{i}
[/mm]
eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] ist. |
Hey,
was eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist habe ich zumindest bei den einfachen Beispielen verstanden. Die Axiome kenne ich auch. Dennoch hänge ich hier bei der Anwendung fest und hoffe ihr könnt mir helfen.
Ich weiß ja:
1) [mm] \Omega \in \A_{i}
[/mm]
2) B [mm] \in \A_{i} [/mm] -> [mm] B^{c} \in \A_{i}
[/mm]
3) Ist B-{n} [mm] \in \A_{i} [/mm] -> [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}B-{n} \in \A_{i}
[/mm]
so, nun muss ich dies alles ja auch für [mm] \bigcap_{i \in I}^{}\A_{i} [/mm] zeigen.
Ich scheitere aber hier schon bei dem ersten Axiom. Ich weiß nicht genau, wie ich dies hier zeigen soll, da es ja die Menge der Durchschnitte ist.
Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.
Danke schon mal 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:11 Sa 11.10.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hier stand leider etwas falsches.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Sa 11.10.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
die Mitteilung ist absolut nicht zielführend und falsch.
Da steht ein Schnitt von Sigma-Algebren.
Was soll denn das Komplement einer Sigma-Algebra sein und wozu soll man das brauchen?
Gruß,
Gono
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Hiho,
erstmal: Bitte versuche doch zumindest deine Fragen halbwegs leserlich hier hinzubekommen. So macht das keinen Spaß :-(
Sei $A = [mm] \bigcap_{i\in I} A_i$
[/mm]
Dann machen wir mal das erste:
z.z: [mm] $\Omega \in [/mm] A$.
Wann ist etwas denn Element eines Schnitts?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Sa 11.10.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Lina,
in der Tat ist deine Aufgabe nicht sehr schön zu lesen.
Sei auch hier $ A = [mm] \bigcap_{i\in I} A_i [/mm] $.
Zu zeigen ist außer dem, was Gono erwähnte:
2.) [mm] $B\in [/mm] A [mm] \Rightarrow B^c\in [/mm] A$
3.) [mm] $B_n\in [/mm] A$ [mm] $(n\in\IN)$ $\Rightarrow$ $\bigcup_{n\in\IN}B_n\in [/mm] A$
Der Grundgedanke hinter dem Beweis der beiden Aussagen ist die Überlegung, was es überhaupt heißt, dass [mm] $B\in [/mm] A$ oder [mm] $B_n\in [/mm] A$ [mm] $(n\in\IN)$ [/mm] ist, wenn $ A = [mm] \bigcap_{i\in I} A_i [/mm] $. Konkreter: Für welche [mm] $i\in [/mm] I$ ist [mm] $B\in A_i$ [/mm] bzw. [mm] $B_n\in [/mm] A$ [mm] $\forall n\in\IN$? [/mm] Und was folgt dann aus der Eigenschaft, dass [mm] $A_i$ $\sigma$-Algebra [/mm] ist?
Zusammengefasst:
1.) "Übersetze" die Bedeutung des Schnitts.
2.) Eigenschaft der [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] ausnutzen.
3.) "Rückübersetzung"
MfG
Ladon
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