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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Also, nun soll ich zeigen, dass die von der Menge der halboffenen Parallelotope erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] gleich ist der Borelschen [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
Was ich mir dazu überlegt habe:
Die Borelsche [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist ja die kleinste [mm] \sigma-Algebra, [/mm] die alle offenen Mengen enthält. Die Menge der halboffenen Parallelotope ist aber nur eine halboffene Menge. Aber kann man nicht irgendwie zeigen, dass halboffen und offen äquivalent oder so was ähnliches sind? Und falls das so ist, was müsste ich dann noch zeigen, damit die jeweils erzeugten [mm] \sigma-Algebren [/mm] gleich sind? Wenn doch die Mengen gleich wären, sind doch auch die [mm] \sigma-Algebren [/mm] gleich, oder?
Also, ich erwarte hier keinen kompletten Beweis (etwas muss ich schließlich auch selber machen), aber irgendwie könnten ich ein bisschen Hilfe gebrauchen.
Viele Grüße
Bastiane
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:02 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Okay, ich mache es noch.  Aber nur, weil du es bist...
Im [mm] $\IR^d$ [/mm] sei [mm] ${\cal O}^d$ [/mm] das System aller offenen Mengen und [mm] ${\cal I}^d$ [/mm] das System aller halboffenen Parallelotope (so wie ihr sie definiert habt).
Gemäß euer Vorlesung gilt:
[mm] ${\cal B}(\IR^d) [/mm] = [mm] \sigma({\cal O}^d)$.
[/mm]
Zu zeigen ist:
[mm] ${\cal B}(\IR^d) [/mm] = [mm] \sigma({\cal I}^d)$,
[/mm]
also:
[mm] $\sigma({\cal O}^d) [/mm] = [mm] \sigma({\cal I}^d)$.
[/mm]
[mm] "$\subset$":
[/mm]
Ist $[a,b[ [mm] \in {\cal I}^d$ [/mm] beliebig gewählt, mit
[mm] $a=(a_1,\ldots,a_d)^T \in \IR^d$,
[/mm]
[mm] $b=(b_1,\ldots,b_d)^T \in \IR^d$,
[/mm]
dann gilt:
[mm] $]a^{(n)},b[ \in {\cal O}^d$
[/mm]
mit
[mm] $a^{(n)} [/mm] = [mm] \left(a_1 - \frac{1}{n}, \ldots, a_d - \frac{1}{n} \right)^T \in \IR^d$.
[/mm]
Es gilt (das solltest du vielleicht noch näher begründen):
$[a,b[ = [mm] \bigcap_{n \in \IN} ]a^{(n)},b[\ \in \sigma({\cal O}^d)$,
[/mm]
also:
[mm] ${\cal I}^d \subset \sigma({\cal O}^d)$,
[/mm]
und damit auch:
[mm] $\sigma({\cal I}^d) \subset \sigma({\cal O}^d)$.
[/mm]
[mm] "$\supset$":
[/mm]
Ist $]a,b[ [mm] \in {\cal O}^d$ [/mm] beliebig gewählt, mit
[mm] $a=(a_1,\ldots,a_d)^T \in \IR^d$,
[/mm]
[mm] $b=(b_1,\ldots,b_d)^T \in \IR^d$,
[/mm]
dann gilt:
[mm] $[a^{(n)},b[ \in {\cal I}^d$
[/mm]
mit
[mm] $a^{(n)} [/mm] = [mm] \left( \min(a_1 + \frac{1}{n},b_1), \ldots, \min(a_d - \frac{1}{n},b_d) \right)^T \in \IR^d$.
[/mm]
Es gilt (das solltest du vielleicht noch näher begründen):
$]a,b[ = [mm] \bigcup_{n \in \IN} [a^{(n)},b[\ \in \sigma({\cal I}^d)$,
[/mm]
also:
[mm] ${\cal O}^d \subset \sigma({\cal I}^d)$,
[/mm]
und damit auch:
[mm] $\sigma({\cal O}^d) \subset \sigma({\cal I}^d)$.
[/mm]
Damit ist alles gezeigt.
Frag bitte nach, wenn was unklar ist!!
Liebe Grüße
Stefan
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