seltsame Aufgabe!! < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 22:20 So 26.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Hallo alle miteinander, mich beschäftigt schon seit längeren eine Aufgabe aus der letzten Kreisolympiade. Ich komme einfach auf keinen vernünftigen Ansatz, doch auf dieser Aufgabe gab es die meisten Punkte. Ich bin gespannt wie ihr an diese Aufgabe herangeht:
In einem Spiel sei jeder der acht Eckpunkte eines Würfels mit einer der Farben Rot und Blau gefärbt.
Ein Zug des Spiels besteht darin, eine Ecke zu wählen und anschließend diese Ecke und
ihre drei Nachbarecken, mit denen sie durch Kanten verbunden ist, umzufärben: aus blauen
Ecken werden rote und aus roten Ecken werden blaue.
Man untersuche, ob es möglich ist, durch eine Folge derartiger Züge zu einem einfarbigen Würfel zu gelangen,
a) wenn zu Beginn genau eine Ecke des Würfels rot und die übrigen sieben Ecken blau gefärbt sind,
b) wenn zu Beginn die vier Eckpunkte einer Seitenfläche des Würfels rot und die übrigen vier Ecken blau gefärbt sind.
Würde mich auch freuen wenn, wieder neue Geometrie Aufgaben gepostet werden würden. mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:30 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Peter!
Zum ersten Teil:
Mach doch mal eine "Budgetrechnung". Um wie viel kann sich die Anzahl der roten und der blauen Ecken pro Färbungsvorgang nur ändern?
Sprich: Sei $(r,b)$ ein Paar, bestehend aus $r$ roten und $b$ blauen Ecken.
Wir haben einen Startvektor $(1,7)$. Mögliche Translationen sind nur $(4,-4)$, $(2,-2)$, $(0,0)$, $(-2,2)$ und $(-4,4)$. (Warum?) Kann man so auf $(0,8)$ oder $(8,0)$ kommen?
Was hast du dir denn zum zweiten Teil überlegt?
> Würde mich auch freuen wenn, wieder neue Geometrie Aufgaben
> gepostet werden würden. mfg
Ich mache ja gerade ein kleines Tutorial. Anschließend folgen dann Aufgaben ohne Ende...  Noch ein bisschen Geduld... 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Hi Zwieback
zu a) bezeichnen wir alle Kanten zwischen 2 gleichfarbigen Ecken mit 1 und alle Kanten zwischen 2 verschiedenfarbigen Kanten mit -1.
Bildet man nun von allen 1ern und -1ern das Produkt so ist dieses zu beginn -1. In einem Schritt werden 4 Ecken umgefärbt. Diese schließen genau 3 Kanten ein deren Beschriftung sich nicht verändert.
Die 6 restlichen Kanten die jeweils mit einem der 4 Punkte verbunden sind, wechseln alle ihre Beschriftung.(3 Kanten sind von der Umfärbung nicht betroffen)
Das heißt also, das immer eine ungerade Anzahl mit -1 beschirfteter Kanten verbleibt. Und somit das Produkt mit -1 INVARIANT bleibt.
Dies steht im Wiederspruch zu der Forderderung lauter gleichfarbiger Ecken, da dann das Produkt 1 wäre.
zu b)
Ich bin mir hier nicht wirklich sicher ob ich so argumentieren kann, aber machs einfach mal trotzdem.
Ich probier das Problem von hinten zu lösen, das heißt, ich schau mir an wie ich ein Quadrat mit lauter gleichen Ecken umfärben kann.
Im ersten Schritt färbt man einen beliebigen Punkt und die mit ihm "verbundenen", sagen wir ABDE.
(ABCD ist das Quadrat der Grundfläche; die restlichen Punkte entsprechend EFGH)
Im nächsten Schritt färben wir einen Punkte B;C;D;E;F;H (welcher ist aus symetriegründen egal ; und bei Färbung von A oder G wird wieder der Zustand lauter gleichfarbiger Ecken erreicht)
sagen wir also B
Es sind nun ABHG und CDEF jeweils gleichfarbig.
Da die jetzige Färbung wiederum vollkommen symetrisch ist (jeder Punkt einer Farbe ist von einem Punkt seiner eigenen Farbe und 2 Punkten der anderen Farbe umgeben), kann man sich aussuchen, von welchem Punkt aus man Umfärbt.
Da dieser Punkt aber wiederum B sein könnte, hat man bereits alle Möglichkeiten einer Färbung, da die vorherige wieder hergestellt wird (Möglichkeiten mit invertierter Färbung oder diejenigen, die durch Drehung einer anderen erreicht werden, werden als gleich betrachtet)
Da keine dieser Möglichkeiten b) ist, ist das Ziel auch nicht zu erreichen. Dies würde übrigens auch a) begründen, wodurch das obige überflüssig wird. Bin aber nicht ganz sicher, ab meine Begründung zu b) stimmt. Und davon abgesehen, gefällt mir die Begründung zu a) deutlich besser
Gruß Samuel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Samuel!
Sehr schön. Es ist strukturell ähnlich wie bei mir. Ich habe ja auch eine Invariante gefunden, nämlich die, dass die Einträge meines Vektors ihre Eigenschaft behalten gerade oder ungerade zu sein.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
|
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]"){kind=small}
