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selbstadjungiertheit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:27 Mi 31.10.2007
Autor: batjka

Aufgabe
(a) V ein Innenprodukt und [mm] \phi ,\psi \in [/mm] End(V). Beweisen oder widerlegen Sie:

1.) sind [mm] \phi ,\psi [/mm] selbstadjungiert, so ist es auch [mm] \phi \circ \psi [/mm]

2.) sind [mm] \phi ,\psi [/mm] selbstadjungiert und positiv definit, so ist es auch [mm] \phi+\psi [/mm]

zu (a)1:  sei v [mm] \in [/mm] V. dann gilt: [mm] <\psi(\phi(v)),v>= <\phi(v),\psi(v)>= [/mm]  => [mm] \phi \circ \psi [/mm] selbstadj.



zu (a)2: [mm] <(\phi+\psi)(v),v>=<\phi(v)+\psi(v),v>= [/mm] da komme ich nicht weiter. wahrscheinlich ist die Behauptung falsch, aber ich komme nicht drauf, wie ich das beweisen soll.


mfg

        
Bezug
selbstadjungiertheit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Mi 31.10.2007
Autor: rainerS

Hallo!

> (a) V ein Innenprodukt und [mm]\phi ,\psi \in[/mm] End(V). Beweisen
> oder widerlegen Sie:
>  
> 1.) sind [mm]\phi ,\psi[/mm] selbstadjungiert, so ist es auch [mm]\phi \circ \psi[/mm]
>  
> 2.) sind [mm]\phi ,\psi[/mm] selbstadjungiert und positiv definit,
> so ist es auch [mm]\phi+\psi[/mm]
>  
> zu (a)1:  sei v [mm]\in[/mm] V. dann gilt: [mm]<\psi(\phi(v)),v>= <\phi(v),\psi(v)>=[/mm]
>  => [mm]\phi \circ \psi[/mm] selbstadj.

Vorsicht! Links steht [mm]\psi\circ\phi[/mm], rechts steht [mm]\phi \circ \psi[/mm], das ist nicht gleich!

Nimm doch mal als Beispiel eines Vektorraums die Ebene und betrachte als Endomorphismen einfache geometrische Operationen wie Streckung oder Verschiebung.

> zu (a)2: [mm]<(\phi+\psi)(v),v>=<\phi(v)+\psi(v),v>=[/mm] da komme
> ich nicht weiter. wahrscheinlich ist die Behauptung falsch,
> aber ich komme nicht drauf, wie ich das beweisen soll.

[mm]<(\phi+\psi)(v),v>=<\phi(v)+\psi(v),v>=<\phi(v),v>+<\psi(v),v>[/mm]

Und jetzt nutzt du aus, dass beide Endomorphismen selbstadjungiert und positiv definit sind.

  Viele Grüße
    Rainer


Bezug
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